Examen de Càlcul UB 2017 · Juny

PROBLEMA 1 [1 punt]. Arrels de nombres complexos

A partir de la representació gràfica de les arrels cúbiques d'un nombre complex $z$ i sabent que una d'elles és $w_0 = 2j$, determina el valor de $z$ i troba les altres dues arrels restants.

$z =$

$w_1 =$

$w_2 =$

PROBLEMA 2 [1 punt]. Inducció matemàtica

Demostra per inducció la següent igualtat per a tot nombre natural $n \ge 1$:

$$3 + 7 + 11 + \dots + (4n - 1) = n(2n + 1)$$

PROBLEMA 3 [1,5 punts]. Càlcul de límit

Calcula el valor del següent límit tenint en compte que $a \ge b > 0$:

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n + b^n}$$

PROBLEMA 4 [1,5 punts]. Arrels reals d'una funció

Demostra que la funció $f(x) = x^7 + 5x^3 + x - 6$ té exactament una única arrel real i determina un interval de longitud 1 on es trobi.

PROBLEMA 5 (2,5 punts). Optimització d'àrea

Un recinte té forma de rectangle acabat en dos semicercles als seus extrems. Es volプレイヤー encerclar tot el perímetre amb una tanca de 50 metres de longitud disponible. Troba quines han de ser les dimensions de la parcel·la perquè l'àrea tancada sigui màxima i justifica que efectivament es tracta d'un màxim.

PROBLEMA 6 (2,5 punts). Fita d'error de Taylor

Determina una fita superior de l'error que es comet en utilitzar l'aproximació següent del nombre $e$:

$$e \approx 2 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}$$