Examen de Càlcul UB 2017 · Juny

Resuelve las siguientes integrales indefinidas:

a.

$$\int \frac{2x^3 + x - 1}{x^2 - 5x}\,dx$$

b.

$$\int \frac{1}{\cos x - \sin x}\,dx$$

Calcula el siguiente límite aplicando la regla de L'Hôpital:

$$\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^{x^2} \cos(\sqrt{t})\,dt}{1 - \sqrt{\cos x}}$$

Calcula el volumen del sólido de revolución engendrado al rotar alrededor del eje $OX$ la región acotada comprendida entre las parábolas:

$$y^2 = x, \quad y = x^2$$

Problema 4 (2 puntos). Carácter y suma de series numéricas

a.

Obtén el valor exacto de la suma de la siguiente serie:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 + 2^n}{3^{n-1}}$$

b.

Determina el carácter de convergencia de la serie:

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^2}$$

Problema 5 (2 puntos). Dominio y suma de una serie de potencias

Dada la función definida por la serie de potencias:

$$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n}$$ a.

Determina el dominio de convergencia de $f(x)$, de su primitiva término a término $\int f(x)\,dx$ y de su derivada $f'(x)$.

b.

Calcula la expresión explícita de la función $f(x)$.

Problema 6 (1 punto). Coeficientes de la serie de Fourier

a.

Calcula los coeficientes de Fourier $a_0$, $a_1$ y $b_1$ correspondientes a las funciones $f(x) = 1$ y $g(x) = x$ en el intervalo fundamental $[-\pi, \pi]$.

Para la función $f(x) = 1$:

Para la función $g(x) = x$:

b.

Determina los valores de las constantes $p$ y $q$ para que el polinomio de primer grado $P(x) = px + q$ posea en $[-\pi, \pi]$ los coeficientes de Fourier $a_0 = 2$, $a_1 = 0$ y $b_1 = 3$.