Examen de Càlcul UB 2017 · (Recuperació 1r Semestre - Juliol 2017)

Problema 1 (1,5 punts). Potències i quocient en forma complexa

Calculeu el valor de la següent expressió numèrica en el camp dels nombres complexos:

$$\frac{i^{521}}{(1 - i)^5}$$

Expresseu el resultat final tant en la seva forma mòdul-argument com en forma binòmica.

Problema 2 (2 punts). Límit d'una successió per Stolz-Cesàro

Determineu el límit següent:

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt{1+1^6} + \sqrt{1+2^6} + \sqrt{1+3^6} + \dots + \sqrt{1+n^6}}{n^4}$$

Problema 3 (2,5 punts). Continuïtat i derivabilitat d'una funció a trossos

Considereu la funció real definida a trossos següent:

$$f(x) = \begin{cases} ax + 1 & \text{si } x \le 1 \\ -x^2 + x + b & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

a)

Trobeu la relació que han de complir els paràmetres reals $a$ i $b$ perquè la funció $f(x)$ sigui contínua en el punt $x = 1$.

b)

Calculeu, emprant exclusivament la definició formal de derivada mitjançant el límit del quocient incremental, la derivada lateral per l'esquerra en aquest punt, $f'(1^-)$.

c)

Determineu els valors numèrics concrets d'$a$ i $b$ que fan que la funció sigui derivable a $x = 1$, calculant prèviament $f'(1^+)$ a partir de la definició de derivada.

Problema 4 (2,5 punts). Polinomi de Taylor i acotació de l'error

a.

Trobeu el polinomi de Taylor d'ordre 1 de la funció $f(x) = \arccos(x)$ centrat en el punt $a = 0$.

b.

Mitjançant el polinomi obtingut, doneu una aproximació del valor d'$\arccos(0{,}6)$ i determineu una fita superior per a l'error absolut comès emprant la forma del residu de Lagrange.

Problema 5 (1,5 punts). Optimització de la productivitat agrícola

Una explotació agrícola disposa actualment d'un conjunt de 25 arbres fruiters, amb una collita mitjana de 600 fruits per arbre. Es calcula mitjançant un estudi agronòmic que, per cada nou arbre addicional que s'hi planti, la producció unitària de cadascun dels arbres del recinte disminuirà en 15 fruits a causa de la competència pels recursos.

a.

Plantegeu l'expressió analítica de la funció que modelitza la collita total de fruits en funció de la quantitat d'arbres suplementaris plantats.

b.

Quin és el nombre d'arbres addicionals que cal afegir a la plantació per fer màxima la producció global? Quants fruits totals es colliran en aquesta situació òptima?