Examen de Càlcul UB 2017 · Final de (Recuperació) - Juliol 2017

PROBLEMA 1 (3 punts: 1 punt cada una). Integrals indefinides

Resoleu de manera raonada les següents integrals indefinides:

a.

$$\int \frac{1}{\sqrt{x+1} + (x+1)\sqrt{x+1}}\,dx$$

b.

$$\int \frac{2x}{x^2 - x + 1}\,dx$$

c.

$$\int \frac{1}{\cos^4 x}\,dx$$

PROBLEMA 2 (2 punts). Cinemàtica i longitud de corba

Un gos surt des del punt $(0, 0)$ en direcció al seu amo, el qual es troba aturat en el punt $\left(3, \frac{e^3 + e^{-3}}{2}\right)$. El gos es desplaça cap a ell amb una velocitat constant de $4\text{ m/s}$, resseguint la corba $y = \cosh(x)$. Quant de temps tardarà a trobar-se amb el seu propietari? (Les magnituds $x$ i $y$ venen donades en metres).

a)

b)

PROBLEMA 3 [2 punts]. Sèrie geomètrica de funcions

Considereu la següent sèrie funcional:$$\sum_{n=0}^{\infty} \sin x \left(\frac{1}{1 + \sin x}\right)^n$$Estudieu la seva convergència per a $x \in [0, \pi]$ i calculeu la seva funció suma en el domini de convergència.

a)

b)

PROBLEMA 4 [1,5 punts]. Caràcter d'una sèrie numèrica

Determineu el caràcter de convergència de la següent sèrie en funció del valor del paràmetre $\alpha > 0$:$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 + \sqrt{n}}{n^\alpha}$$

a)

$\alpha_0 =$

b)

PROBLEMA 5 [1,5 punts]. Coeficients de Fourier

Trobeu els coeficients $b_n$ del desenvolupament en sèrie de Fourier de la funció periòdica representada gràficament a continuació:

a)

$T =$

$f(x) =$

b)

$b_n =$