Problema 3 · Càlcul UB 2017

Problema 3 (2,5 punts). Continuïtat i derivabilitat d'una funció a trossos

Considereu la funció real definida a trossos següent:

$$f(x) = \begin{cases} ax + 1 & \text{si } x \le 1 \\ -x^2 + x + b & \text{si } x > 1 \end{cases}$$

a)

Trobeu la relació que han de complir els paràmetres reals $a$ i $b$ perquè la funció $f(x)$ sigui contínua en el punt $x = 1$.

b)

Calculeu, emprant exclusivament la definició formal de derivada mitjançant el límit del quocient incremental, la derivada lateral per l'esquerra en aquest punt, $f'(1^-)$.

c)

Determineu els valors numèrics concrets d'$a$ i $b$ que fan que la funció sigui derivable a $x = 1$, calculant prèviament $f'(1^+)$ a partir de la definició de derivada.