Problema 2 - Polinomi de Taylor · Calculo de una Variable UB Juny 2014

a. Sigui g(x) una funció definida en un interval obert (a, b) ⊂ R i suposem que és (n + 1) vegades derivable en aquest interval. Escriviu la fórmula del polinomi de Taylor d'ordre n de g(x) centrat en un punt x0 ∈ (a, b), incloent-hi l'expressió del terme complementari (residu de Lagrange).

Solución: $T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{g^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$, $R_n(x) = \frac{g^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ amb $\xi$ entre $x_0$ i $x$.

b.d. Trobeu el polinomi de Taylor de primer grau de f(x) centrat a x0 = 0 amb el seu residu associat: Polinomi T1(x).

Solución: $T_1(x) = x$

b.d. Trobeu el polinomi de Taylor de primer grau de f(x) centrat a x0 = 0 amb el seu residu associat: Residu R1(x).

Solución: $R_1(x) = \frac{1}{2}\left[-\frac{2}{b}\sin\left(\frac{\xi}{b}\right) - \frac{\xi}{b^2}\cos\left(\frac{\xi}{b}\right)\right]x^2$, amb $\xi$ entre 0 i $x$.