Ejercicio Qüestió 3 · Calculo de una Variable UB Juny 2014

a. Comproveu que la regla de L'Hôpital no és aplicable per calcular el límit següent:

Solución: Es tracta d'una indeterminació $[\frac{-\infty}{\infty}]$ ja que $\cos x$ està acotat i $x^2 \to \infty$. Derivant numerador i denominador: $$\lim_{x \to \infty} \frac{-\sin x - 2x}{-\sin x + 2x} = \left[\frac{\infty}{\infty}\right]$$ Aplicant L'Hôpital una segona vegada: $$\lim_{x \to \infty} \frac{-\cos x - 2}{-\cos x + 2}$$ Quan $x \to \infty$, $\cos x$ oscil·la periòdicament en $[-1, 1]$ i no té límit ($\nexists \lim_{x \to \infty} \cos x$). En conseqüència, el quocient oscil·la entre $-3/1 = -3$ i $-1/3$ sense convergir. Com que el límit de les derivades no existeix (ni tendeix a $\pm\infty$), no podem aplicar la regla de L'Hôpital per resoldre el límit original.

b. Valor del límit:

Solución: -1

Procediment alternatiu de càlcul:

Solución: Dividim numerador i denominador per la potència dominant, $x^2$: $$\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x - x^2}{\cos x + x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos x}{x^2} - 1}{\frac{\cos x}{x^2} + 1}$$ Atesa la fita $|\cos x| \le 1$, pel criteri de compressió tenim que: $$-\frac{1}{x^2} \le \frac{\cos x}{x^2} \le \frac{1}{x^2} \implies \lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x^2} = 0$$ Substituint aquest resultat en el límit: $$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\cos x}{x^2} - 1}{\frac{\cos x}{x^2} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$$