Problema 3 · Calculo de una Variable UB Juny 2014

Tema: Aplicacions de la integral, còniques i integrals impròpies · Del examen Juny (2014)

Enunciado

Problema 3. Sòlid de revolució d'una paràbola: volum i superfície

Sigui la funció f(x)=+axf(x) = +\sqrt{ax} per a x∈[0,l]x \in [0, l], amb a>0a > 0 i l>0l > 0.

a)

Identifiqueu la corba que representa f(x)f(x) i descriviu-ne el traçat aproximat.

b)

En fer girar f(x)f(x) al voltant de l'eix xx es genera un cos anomenat paraboloide de revolució. Calculeu el volum que tanca aquest sòlid entre x=0x = 0 i x=lx = l.

c)

Calculeu l'àrea de la superfície lateral d'aquest cos.

(Recordeu: L'àrea lateral d'una superfície de revolució generada en girar f(x)f(x) al voltant de l'eix xx entre x=ax = a i x=bx = b ve donada per S=2π∫abf(x)1+[f′(x)]2 dxS = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx).

d)

Determineu l'àrea total del sòlid de revolució, incloent-hi la base circular situada al pla x=lx = l.

Enunciado: Problema 3 · Calculo de una Variable UB Juny 2014

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Identifiqueu la corba que representa f(x) i descriviu-ne el traçat aproximat.

Solución: Branca superior d'una paràbola d'eix horitzontal coincident amb l'eix x, amb vèrtex a l'origen (0,0) i oberta cap a les abscisses positives.

b. En fer girar f(x) al voltant de l'eix x es genera un cos anomenat paraboloide de revolució. Calculeu el volum que tanca aquest sòlid entre x = 0 i x = l.

Solución: πal22\frac{\pi a l^2}{2}

c. Calculeu l'àrea de la superfície lateral d'aquest cos.

Solución: πa6[(4l+a)3/2−a3/2]\frac{\pi\sqrt{a}}{6} [(4l + a)^{3/2} - a^{3/2}] / 4πa3[(l+a4)3/2−(a4)3/2]\frac{4\pi\sqrt{a}}{3} [(l + \frac{a}{4})^{3/2} - (\frac{a}{4})^{3/2}]

d. Determineu l'àrea total del sòlid de revolució, incloent-hi la base circular situada al pla x = l.

Solución: πa6[(4l+a)3/2−a3/2]+πal\frac{\pi\sqrt{a}}{6} [(4l + a)^{3/2} - a^{3/2}] + \pi a l / 4πa3[(l+a4)3/2−(a4)3/2]+πal\frac{4\pi\sqrt{a}}{3} [(l + \frac{a}{4})^{3/2} - (\frac{a}{4})^{3/2}] + \pi a l

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Ejercicio Qüestió 2 · Juny 2014 · Problema 1 · 2012 ›

Más ejercicios de Aplicacions de la integral, còniques i integrals impròpies