Problema 1 · Calculo de una Variable UB Juny 2014
Tema: Aplicacions de la derivada: monotonia, extrems i optimització · Del examen Juny (2014)
Enunciado
Problema 1 (2 punts). Optimització del volum d'un cilindre inscrit en una esfera
Considereu una esfera de radi fix . Es vol trobar l'alçada d'un cilindre circular recte de volum màxim que es pugui inscriure en aquesta esfera.
a.
Expliciteu el volum del cilindre inscrit en funció de l'alçada i del radi esfèric .
b.
Trobeu el valor d'h que maximitza el volum , expressat en termes de .
c.
Calculeu el valor del volum màxim en funció de .
d.
Comproveu formalment que la solució obtinguda correspon efectivament a un màxim.
Solución
Según los criterios oficiales de corrección
a. Expliciteu el volum V del cilindre inscrit en funció de l'alçada h i del radi esfèric R.
Solución: V(h) = \pi \left( R^2 - \frac{h^2}{4} \right) h = \pi \left( R^2 h - \frac{h^3}{4} \right)
b. Trobeu el valor d'h que maximitza el volum V, expressat en termes de R.
Solución: h = \frac{2}{\sqrt{3}} R = \frac{2\sqrt{3}}{3} R
c. Calculeu el valor del volum màxim en funció de R.
Solución: V_{\max} = \frac{4\pi}{3\sqrt{3}} R^3 = \frac{4\sqrt{3}\pi}{9} R^3
d. Comproveu formalment que la solució obtinguda correspon efectivament a un màxim.
Solución: \left. \frac{d^2V}{dh^2} \right|_{h=2R/\sqrt{3}} = -\sqrt{3}\pi R < 0
La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium
Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.
‹ Problema 2.a - Estudi de la funció · 2014 · Problema 2 - Representació gràfica · Juny 2014 ›