Ejercicio Qüestió 4 · Calculo de una Variable UB Juny 2014

a. $z^3 = i\pi$

Solución: $$z_0 = \pi^{1/3} e^{i\pi/6} = \pi^{1/3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)$$ $$z_1 = \pi^{1/3} e^{i5\pi/6} = \pi^{1/3}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)$$ $$z_2 = \pi^{1/3} e^{i3\pi/2} = -i\pi^{1/3}$$

b. $\sin z = \frac{3}{4}i$

Solución: $$z = 2k\pi + i\ln 2 \quad \text{i} \quad z = (2k + 1)\pi - i\ln 2, \quad k \in \mathbb{Z}$$ O de manera unificada: $$z = n\pi + i(-1)^n \ln 2, \quad n \in \mathbb{Z}$$