Ejercicio Qüestió 1 · Calculo de una Variable UB Juny 2014

a. Enuncieu el principi d'inducció matemàtica.

Solución: Sigui $P(n)$ una propietat definida per a cada enter positiu $n \in \mathbb{Z}^+$. Si es compleix que: - Cas base: $P(1)$ és certa. - Pas inductiu: Si per a un enter arbitrari $n$ se suposa que $P(n)$ és certa (hipòtesi d'inducció), es dedueix necessàriament que $P(n + 1)$ també és certa. Aleshores, $P(n)$ és certa per a tot $n \in \mathbb{Z}^+$.

b. Empreu el principi d'inducció per demostrar que: $n^3 + 2n$ és divisible per 3, $\forall n \in \mathbb{Z}^+$

Solución: - Cas base ($n = 1$): $$1^3 + 2(1) = 1 + 2 = 3 = 3 \cdot 1$$ Com que 3 és múltiple de 3, la proposició és certa per a $n = 1$. - Hipòtesi d'inducció (HI): Suposem que la propietat és certa per a un cert $n \in \mathbb{Z}^+$, és a dir: $$n^3 + 2n = 3k \quad (k \in \mathbb{Z}^+)$$ - Pas inductiu ($n + 1$): Volem veure si $(n + 1)^3 + 2(n + 1) = 3k'$ per a algun enter $k'$. Desenvolupem l'expressió: $$(n + 1)^3 + 2(n + 1) = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 2n + 2$$ $$= (n^3 + 2n) + 3n^2 + 3n + 3 = (n^3 + 2n) + 3(n^2 + n + 1)$$ Aplicant la hipòtesi d'inducció $n^3 + 2n = 3k$: $$= 3k + 3(n^2 + n + 1) = 3[k + n^2 + n + 1] = 3k'$$ on $k' = k + n^2 + n + 1 \in \mathbb{Z}^+$. Així doncs, la propietat també es compleix per a $n + 1$. Per tant, pel principi d'inducció matemàtica, queda demostrat que $n^3 + 2n$ és divisible per 3 per a tot $n \in \mathbb{Z}^+$.