Ejercicio Qüestió 2 · Calculo de una Variable UB 2012

a. Definiu el concepte de derivada d'una funció $f(x)$ en un punt $x = a$. Demostreu que si una funció és derivable en aquest punt, aleshores és necessàriament contínua en $x = a$. És cert el resultat recíproc? Justifiqueu la resposta aportant un exemple.

Solución: Definició: $f'(a) = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$. Demostració: $\lim_{x\to a}[f(x)-f(a)] = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a) = f'(a)\cdot 0 = 0$, per tant $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$. Recíproc fals: $f(x)=|x|$ a $x=0$.

b. Determineu l'expressió de la primera derivada $f'(x)$ per a $x \neq 0$

Solución: $\frac{x\cos(x^2)}{\sqrt{\sin(x^2)}}$

Calculeu la derivada lateral per la dreta a l'origen: $f'_+(0)$

Solución: 1

Calculeu la derivada lateral per l'esquerra a l'origen: $f'_-(0)$

Solución: -1

Quant val la derivada $f'(0)$?

Solución: No existeix