Ejercicio Qüestió 1 · Calculo de una Variable UB 2012

Enuncieu amb precisió el principi d'inducció matemàtica

Solución: Sigui $P(n)$ una propietat associada als nombres naturals $n \in \mathbb{N}$. Si: - Es compleix la base d'inducció: $P(1)$ és certa. - Es compleix el pas inductiu: per a qualsevol $n \ge 1$, el fet que $P(n)$ sigui certa (hipòtesi d'inducció) implica que $P(n+1)$ també és certa. Aleshores, $P(n)$ és certa per a tot $n \in \mathbb{N}$.

Demostreu que la identitat $\sum_{k=1}^n k(k+1)^2 = \frac{1}{12}n(n+1)(n+2)(3n+5)$ és certa per a tot $n \in \mathbb{N}$

Solución: 1. Cas base ($n=1$): Costat esquerre: $$\sum_{k=1}^1 k(k+1)^2 = 1\cdot (1+1)^2 = 1\cdot 4 = 4$$ Costat dret: $$\frac{1}{12}\cdot 1\cdot(1+1)\cdot(1+2)\cdot(3\cdot 1+5) = \frac{1}{12}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 8 = \frac{48}{12} = 4$$ Com que ambdós membres coincideixen, la propietat és vàlida per a $n=1$. 2. Hipòtesi d'inducció: Suposem certa la igualtat per a un determinat valor $n$: $$\sum_{k=1}^n k(k+1)^2 = \frac{1}{12}n(n+1)(n+2)(3n+5)$$ 3. Pas inductiu ($n+1$): Volem provar que: $$\sum_{k=1}^{n+1} k(k+1)^2 = \frac{1}{12}(n+1)(n+2)(n+3)(3(n+1)+5) = \frac{1}{12}(n+1)(n+2)(n+3)(3n+8)$$ Separem l'últim terme del sumatori i apliquem la hipòtesi d'inducció: $$\sum_{k=1}^{n+1} k(k+1)^2 = \sum_{k=1}^n k(k+1)^2 + (n+1)(n+2)^2$$ $$= \frac{1}{12}n(n+1)(n+2)(3n+5) + (n+1)(n+2)^2$$ $$= \frac{1}{12}(n+1)(n+2)\big[n(3n+5) + 12(n+2)\big]$$ $$= \frac{1}{12}(n+1)(n+2)[3n^2 + 5n + 12n + 24]$$ $$= \frac{1}{12}(n+1)(n+2)(3n^2 + 17n + 24)$$ Factoritzem el polinomi de segon grau: $$3n^2 + 17n + 24 = (n+3)(3n+8)$$ Per tant: $$\sum_{k=1}^{n+1} k(k+1)^2 = \frac{1}{12}(n+1)(n+2)(n+3)(3n+8)$$ Queda demostrat que $P(n) \implies P(n+1)$ i, en virtut del principi d'inducció, la fórmula és certa per a tot $n \in \mathbb{N}$.