Problema 2 · Calculo de una Variable UB 2012

a. Escriviu l'expressió general del polinomi de Taylor de grau $n$ d'una funció $f(x)$ al voltant d'un punt $x_0$, incloent-hi l'expressió del residu de Lagrange corresponent.

Solución: $$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)$$ on el residu en la forma de Lagrange és: $$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}$$ per a algun punt intermedi $\xi$ estrictament comprès entre $x_0$ i $x$.

b. Estimeu el valor de $e^{0.1}$ fent servir el desenvolupament de Taylor de la funció $f(x) = e^x$ a l'origen fins a ordre $n = 3$.

Solución: $\frac{6631}{6000}$ / $1{,}105167$

b. Doneu una fita superior rigorosa de l'error comès.

Solución: $\frac{1}{80000}$ / $1{,}25\cdot 10^{-5}$

c. Calculeu el límit següent utilitzant desenvolupaments de Taylor o infinitèsims equivalents: $\lim_{x\to 0} \frac{\left[\frac{1}{1+x} - 1 + x\right]\left[\frac{1}{\sqrt{1+x}} - 1 + \frac{x}{2}\right]}{[e^x - 1 - x][x - \ln(1+x)]}$

Solución: $\frac{3}{2}$