Problema 3 · Calculo de una Variable UB 2012

Problema 3 (2 punts). Optimització del cost de producció d'un envàs cilíndric

Una consultoria rep l'encàrrec de dur a terme un estudi per optimitzar el procés productiu d'una beguda. La beguda s'ha d'envasar en un recipient cilíndric de volum fix $V$, i s'han de determinar l'alçada ($H$) i el radi de la base ($R$) que minimitzen el cost total de fabricació.

Per a la manufactura de l'envàs s'utilitzen dos tipus de materials:

El material de les bases circulars (base inferior i tapa superior) té un cost de $A$ euros per unitat de superfície.

El material emprat per a la superfície lateral té un cost de $B$ euros per unitat de superfície.

Trobeu, en funció de $V$, $A$ i $B$, quins són el radi $R$ i l'alçada $H$ que fan que el cost de l'envàs sigui mínim. Comproveu explícitament que la solució trobada correspon a un mínim de la funció de cost.

a)

b)

c)