Ejercicio Qüestió 3 · Calculo de una Variable UB 2012

Tema: Nombres complexos · Del examen Examen de Càlcul d'una Variable - Gener de 2012 (2012)

Enunciado

Qüestió 3 (1 punt). Arrels en el pla complex i potències complexes de funcions hiperbòliques

a.

Trobeu totes les solucions en el cos dels nombres complexos (z∈Cz \in \mathbb{C}) de l'equació z4=24z^4 = 2^4 i representeu-les en el pla complex.

b.

Calculeu el valor de la següent expressió en la determinació principal i escriviu el resultat final en forma binòmica:

[tanh⁡(iπ/3)]i[\tanh(i\pi/3)]^i

Dada d'ajuda: sin⁡(π/3)=3/2\sin(\pi/3) = \sqrt{3}/2, cos⁡(π/3)=1/2\cos(\pi/3) = 1/2.

Enunciado: Ejercicio Qüestió 3 · Calculo de una Variable UB 2012

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Trobeu totes les solucions en el cos dels nombres complexos (z∈Cz \in \mathbb{C}) de l'equació z4=24z^4 = 2^4

Solución: 2, -2, 2i, -2i

Representeu les solucions en el pla complex

Solución: Gràficament, aquestes solucions formen els quatre vèrtexs d'un quadrat centrat a l'origen d'aresta perpendicular als eixos reals i imaginaris, inscrits en una circumferència de radi 2 sobre els eixos coordenats: els punts (2,0)(2,0), (0,2)(0,2), (−2,0)(-2,0) i (0,−2)(0,-2).

b. Part real de [tanh⁡(iπ/3)]i[\tanh(i\pi/3)]^i en forma binòmica (aa)

Solución: e−π/2cos⁡(ln⁡3)e^{-\pi/2}\cos(\ln\sqrt{3}) / e−π/2cos⁡(12ln⁡3)e^{-\pi/2}\cos\left(\frac{1}{2}\ln 3\right)

b. Part imaginària de [tanh⁡(iπ/3)]i[\tanh(i\pi/3)]^i en forma binòmica (bb)

Solución: e−π/2sin⁡(ln⁡3)e^{-\pi/2}\sin(\ln\sqrt{3}) / e−π/2sin⁡(12ln⁡3)e^{-\pi/2}\sin\left(\frac{1}{2}\ln 3\right)

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Ejercicio Qüestió 4 · Juny 2014 · Problema 1 · Juny 2012 ›

Más ejercicios de Nombres complexos