Examen de Estadística UB 2023 · Juny

Problema 1 - Model B (1 punt). Processos de Poisson i distribució binomial

L'arribada de partícules radioactives per unitat de temps (hora) a un comptador Geiger d'un laboratori se sotmet a una distribució de Poisson de paràmetre $\lambda = 1.5$.

a)

Trobeu la probabilitat que durant una hora determinada el recompte de partícules no sigui superior a 1 partícula.

b)

Prenent com a referència una setmana en concret (del 19 al 25 de juny de 2023, és a dir, 7 dies complets), determineu la probabilitat que hi hagi 3 o més dies en què el nombre diari de partícules superi les 40 (es pot deixar indicada l'expressió amb la comanda corresponent d'R).

Problema 2 - Model B (2 punts). Model normal i probabilitat condicionada (Bayes)

En una població de diabètics amb Índex de Massa Corporal (IMC) elevat, la variable $X =$ "Nivell de glucèmia en dejú" segueix una distribució aproximadament normal de mitjana $120\text{ mg/100ml}$ i desviació típica $10\text{ mg/100ml}$. En la població global en estudi, la proporció d'individus diabètics que tenen IMC elevat és del $50\%$.

a.

D'acord amb el model esmentat, quin percentatge de diabètics amb IMC elevat presentarà nivells de glucèmia compresos entre $105$ i $126\text{ mg/100ml}$?

%

b.

Assumint que la mateixa variable $X$ en els diabètics amb IMC baix o normal segueix una $N(110, 9)$, calculeu la probabilitat que un individu diabètic que presenti un nivell de glucèmia superior a $130$ pertanyi al grup amb IMC elevat. Indiqueu els càlculs emprant les taules de la normal i indiqueu la comanda corresponent d'R.

3. Problema 3 - Model B (2 punts). Contrast d'hipòtesis de dades aparellades

En una investigació es pretén avaluar l'efecte de dos fàrmacs (A i B) sobre l'expressió del gen YFG1. Amb aquesta finalitat, se selecciona a l'atzar un grup de 5 subjectes voluntaris i a cadascun se li realitza una mesura administrant el fàrmac A i una altra administrant el fàrmac B (que actua com a placebo). Les dades obtingudes són:

Grup · Individu 1 · Individu 2 · Individu 3 · Individu 4 · Individu 5

Grup 1 (Droga A) · 12.3 · 11.5 · 12 · 13 · 10.8

Grup 2 (Droga B) · 8.8 · 10 · 11 · 10 · 10.3

Suposant que la variable resposta compleix la hipòtesi de normalitat, contrasteu si és admissible concloure que la droga A indueix una expressió gènica mitjana superior a la del placebo amb un nivell de significació del 5%. Indiqueu la variable resposta, els models suposats, el test plantejat, la regió crítica i la resolució.

1.

2.

3.

4.

5.

Problema 4 - Model B (1 punt). Contrast d'hipòtesis sobre una proporció

Continuant amb la seguretat del fàrmac, s'avalua la possible aparició d'un efecte secundari advers (presència de sang en femta). S'administra la droga A a una mostra de 250 voluntaris. La normativa estableix que el fàrmac únicament serà aprovat si es demostra que menys del 10% dels individus el presenten. Un cop recollides les dades, s'observa que 20 dels 250 pacients pateixen l'efecte. Amb un nivell de significació del 5%, es pot concloure que la probabilitat de patir aquest efecte és inferior al 10%?

(Cal especificar la variable resposta, model suposat, contrast d'hipòtesis, regió crítica i decisió final).

1.

2.

3.

4.

5.

Problema 5 - Model B (2 punts). Selecció de test d'R (mostres independents) i preguntes V/F

Apartat 1 (1 punt):

Un experiment compara el volum transpirat per ceps de vinya sotmesos a dues condicions d'estrès hídric diferents. S'han disposat 12 plantes sota la condició 1 i 12 plantes independents sota la condició 2 (total 24 plantes). Se suposa normalitat per al volum transpirat. A partir del llistat de sortides de programari estadístic R disponible a continuació, seleccioneu l'anàlisi pertinent per decidir si existeixen diferències significatives entre ambdues condicions a un nivell del 5%. Formuleu les hipòtesis i justifiqueu la resolució.

Apartat 2 (1 punt):

Si en comptes de 12 plantes per grup se'n disposessin 16, determineu la veracitat (Certa o Falsa) de cadascuna de les asseveracions següents (cada encert suma 0.2 punts, cada errada resta 0.2, les no contestades no penalitzen; nota mínima de l'apartat: 0):

.

Problema 6 - Model A (1 punt). Qüestionari d'elecció múltiple

Resoleu el qüestionari següent (correcta: +0.2; error: -0.05):

a.

En un contrast sobre la mitjana d'una població normal $m$ amb $H_0: m = 5$ i $H_1: m > 5$ s'obté un p-valor de $0.09$. Si s'hagués considerat la hipòtesi bilateral $H_1: m \neq 5$, el nou p-valor seria:

d.

En un contrast amb nivell de significació $0.05$, el p-valor obtingut és $0.003$:

e.

En un test d'hipòtesis amb nivell de significació $0.05$ i p-valor $0.02$:

Problema 6 - Model A (1 punt). Qüestionari d'elecció múltiple

Resoleu el qüestionari següent (correcta: +0.2; error: -0.05):

b. En un estudi es presenta un interval de confiança per a la mitjana $m$ a partir d'una mostra de mida 10 donat per $[12.1, 16.2]$ al $90\%$ de confiança. Sota la hipòtesi de normalitat, avalueu les afirmacions:

- El $90\%$ dels valors de la variable es troben entre 12.1 i 16.2.

- Si s'incrementa la mida mostral, el nivell de confiança augmentarà.

Problema 6 - Model A (1 punt). Qüestionari d'elecció múltiple

Resoleu el qüestionari següent (correcta: +0.2; error: -0.05):

c. Per avaluar la relació entre el consum de la droga A i de la droga B, es pren una mostra de 800 subjectes amb la següent taula:

· Consumeix A · No consumeix A

Consumeix B · 30 · 50

No consumeix B · 20 · 700

El test adequat és:

Problema 7 - Model A (1 punt). Regió crítica amb coeficient de variació i distribució discreta

Apartat 1 (0.5 punts):

En un test d'hipòtesis sobre un paràmetre poblacional s'estableix la regió crítica següent:

$$W = \left\{ (x_1, \ldots, x_5) \;\middle|\; \frac{2}{CV} > 8 \right\}$$

on $CV$ representa el coeficient de variació mostral. La mostra de grandària 5 recollida al camp és: 4.1, 3.9, 4, 3.8, 3.9. Decidiu si cal acceptar $H_0$ o bé $H_1$.

Problema 7 - Model A (1 punt). Regió crítica amb coeficient de variació i distribució discreta

Apartat 2 (0.5 punts)

Es divideix un fons marí en 2 transsectes independents per estudiar l'albirament d'individus de l'espècie Myliobatis aquila (milana). La taula mostra les probabilitats diàries d'observar 0, 1 o 2 exemplars:

· 0 individus · 1 individu · 2 individus

Transsecte 1 · 0.9 · 0.1 · 0

Transsecte 2 · 0.7 · 0.2 · 0.1

Sigui $X =$ "Nombre total d'observacions de Myliobatis aquila en un dia". Trobeu la funció de probabilitat de $X$ i calculeu la seva esperança matemàtica $E(X)$.

$x$ · 0 · 1 · 2 · 3

$P(X = x)$

Part 1 - Model A (1 punt). Test d'una mostra i taula de contingència per estacions

Part 1 - Model B (1 punt). Test t per a una mostra i contrast d'homogeneïtat

Part A: En un estudi en aigües fecals es mesura la quantitat d'una droga a la xarxa d'un municipi: $X =$ "quantitat de droga en un instant concret detectada". En condicions normals se suposa una distribució normal amb mitjana no superior a 60. S'extreu una mostra de grandària 6 amb les determinacions següents:

58 · 61 · 62 · 59 · 64 · 70 · 56

(Nota: a la graella de dades es disposen 7 observacions: 58, 61, 62, 59, 64, 70, 56).

Es pot acceptar amb un nivell de significació del 5% que la mitjana poblacional supera 60? Calculeu les conclusions del test.

Part 1 - Model A (1 punt). Test d'una mostra i taula de contingència per estacions

Part B: Es pretén esbrinar si la proporció de determinacions significatives varia segons l'estació de l'any. A partir de 40 mesures preses a l'atzar en cadascuna de les 4 estacions:

· Estiu · Hivern · Primavera · Tardor

Test significatiu · 20 · 12 · 16 · 21

Test no significatiu · 20 · 28 · 24 · 19

Decidiu si es detecten diferències significatives entre les estacions amb $\alpha = 0.05$.

Part 1 - Model A (1 punt). Test d'una mostra i taula de contingència per estacions

Problema 1 - Model A (2 punts). Model normal i teorema de Bayes

Entre els individus diabètics amb IMC elevat, la variable $X =$ "Nivell de glucèmia en dejú" segueix una distribució normal amb mitjana $116\text{ mg/100ml}$ i desviació típica $8\text{ mg/100ml}$. La proporció de diabètics amb IMC elevat a la població estudiada és del $40\%$.

a.

Quin percentatge de diabètics amb IMC elevat tindrà nivells de glucèmia compresos entre 110 i $120\text{ mg/100ml}$?

%

b.

Si la mateixa glucèmia en diabètics amb IMC baix o normal segueix una $N(110, 6)$, trobeu la probabilitat que un diabètic amb glucèmia superior a 120 tingui un IMC elevat. Calculeu-ho amb les taules de la normal i indiqueu la comanda d'R.

Problema 2 - Model A [1 punt]. Processos de Poisson i distribució binomial

El nombre de partícules radioactives mesurades per un comptador Geiger per hora segueix un procés de Poisson amb paràmetre $\lambda = 3$.

a)

Calculeu la probabilitat que en una hora el recompte no sigui superior a 1 partícula.

b)

Per a una setmana determinada (7 dies), determineu la probabilitat que hi hagi 2 o més dies en què el nombre diari de partícules superi les 80 (es pot deixar indicada la comanda d'R o emprar l'aproximació normal).

Problema 3 - Model A (2 punts). Comparació de dues mostres independents

En un assaig es vol contrastar l'efecte de dues drogues (A i B, on B és placebo) sobre l'expressió del gen YFG1 mitjançant dos grups independents d'individus seleccionats a l'atzar:

Grup 1 (Droga A): 12.3, 11.5, 12, 11.7, 10

Grup 2 (Droga B): 8.8, 10, 11, 9.9, 10.1

Suposant normalitat en ambdós grups, decidiu si es pot acceptar que la droga A indueix una expressió gènica mitjana superior a la del placebo al nivell de significació del 5%.

En un assaig clínic de seguretat s'administra la droga A a 400 voluntaris per controlar l'efecte secundari d'hemorràgia gastrointestinal. La droga serà aprovada si es demostra que menys del 10% dels usuaris el pateixen. Dels 400 voluntaris analitzats, 25 presenten l'efecte advers. Amb un nivell de significació del 5%, es pot concloure que la probabilitat de patir-lo és menor al 10%?

Problema 5 - Model A (2 punts). Selecció de test d'R (dades aparellades) i preguntes V/F

Apartat 1 (1 punt):

Es vol avaluar la transpiració de ceps de vinya sotmesos a dues condicions hídriques. En aquest assaig es pren un únic grup de 12 plantes, i cada planta és sotmesa a les dues condicions (mesures sobre els mateixos individus). Assumint normalitat de la variable volum transpirat, seleccioneu la part pertinent del llistat estadístic següent per contrastar si hi ha diferències significatives entre les dues condicions ($\\alpha = 0.05$):

Apartat 2 (1 punt):

Suposant que en lloc de 12 plantes se n'haguessin emprat 16, avalueu la veracitat de les asseveracions següents (cert: +0.2; erroni: -0.2; en blanc: 0):

.

Problema 6 - Model A (1 punt). Qüestionari d'elecció múltiple

Resoleu el qüestionari següent (correcta: +0.2; error: -0.05):

Problema 6 - Model A (1 punt). Qüestionari d'elecció múltiple

Resoleu les preguntes següents sobre contrast d'hipòtesis (correcta: +0,2; error: -0,05):

a.

En un contrast d'hipòtesis amb $\alpha = 0.01$ i p-valor $= 0.002$:

b.

En un contrast sobre la mitjana d'una població normal $m$ amb $H_0: m = 5$ i $H_1: m > 5$ s'obté un p-valor de $0.09$. Si l'alternativa fos bilateral $H_1: m \neq 5$:

e.

En un test plantejat al nivell $\alpha = 0.05$ s'obté un p-valor de $0.15$:

Problema 6 - Model A (1 punt). Qüestionari d'elecció múltiple

Resoleu el qüestionari següent (correcta: +0.2; error: -0.05):

c. Un interval de confiança per a la mitjana al 90% amb $n = 10$ és $[12.1, 16.2]$. Quina opció és correcta?

- El 90% dels valors de la variable es troben entre 12.1 i 16.2.

- El 90% de les vegades que s'extreguin mostres de mida 10, la mitjana poblacional quedarà compresa entre els límits de l'interval de confiança obtingut.

Problema 6 - Model A (1 punt). Qüestionari d'elecció múltiple

Resoleu el qüestionari següent (correcta: +0.2; error: -0.05):

d. Es pretén avaluar un test diagnòstic en orina per a càncer de pròstata classificant 300 pacients en tres estadis clínics: grau 0 (sa), grau 1 (incipient) i grau 2 (desenvolupat):

· Grau 0 · Grau 1 · Grau 2

Negatiu · 75 · 10 · 7

Positiu · 21 · 55 · 132

Per resoldre l'estudi, la metodologia adequada és:

Problema 7 - Model A (1 punt). Regió crítica amb coeficient de variació i distribució discreta

Apartat 1

En un contrast d'hipòtesis es defineix la regió de rebuig següent:

$$W = \left\{ (x_1, \dots, x_5) \;\middle|\; \frac{2}{CV} > 8 \right\}$$

Els valors de la mostra obtinguts són: 3.1, 4.2, 5.4, 4.8, 3.9. Decidiu si cal acceptar $H_0$ o $H_1$.

Problema 7 - Model A (1 punt). Regió crítica amb coeficient de variació i distribució discreta

Apartat 2 [0.5 punts]

S'estudia la presència de Myliobatis aquila en dos transsectes marins independents amb la següent taula de probabilitats d'observació:

· 0 individus · 1 individu · 2 individus

Transsecte 1 · 0.8 · 0.1 · 0.1

Transsecte 2 · 0.9 · 0.05 · 0.05

Sigui $X =$ "Nombre total d'observacions de l'espècie en un dia". Trobeu la funció de probabilitat de $X$ i calculeu $E(X)$.

$P(X=0) =$

$P(X=1) =$

$P(X=2) =$

$P(X=3) =$

$P(X=4) =$

Part 1 - Model A (1 punt). Test d'una mostra i taula de contingència per estacions

Part 1 - Model A. Test d'una mostra i taula de contingència per estacions

Part A: En un estudi per avaluar residus de substàncies en aigües residuals se suposa que la concentració $X$ segueix una distribució normal amb mitjana teòrica no superior a 60. Es pren una mostra independent de 7 dies:

58 · 61 · 62 · 59 · 64 · 70 · 56

Verifiqueu si la mitjana poblacional supera 60 a un nivell del 5%.

Part 1 - Model A (1 punt). Test d'una mostra i taula de contingència per estacions

Part B: Per analitzar la incidència estacional, s'analitzen 40 determinacions aleatòries a cadascuna de les quatre estacions de l'any:

· Estiu · Hivern · Primavera · Tardor

Test significatiu · 20 · 12 · 16 · 21

Test no significatiu · 20 · 28 · 24 · 19

Erasteu si existeix diferència estacional al nivell de significació 0.05.