Examen de Estadística UB 2015 · Juny

Problema 1 (Part I). Distribució normal de 17-cetosteroides

Se sap que el nivell diari d'eliminació de 17-cetosteroides en homes joves sans segueix una distribució normal amb mitjana $\mu = 12$ i desviació típica $\sigma = 1.9$.

a)

Si s'extreuen 5 observacions aleatòries i independents de la població, determineu la probabilitat que com a màxim un individu presenti un nivell inferior a 8 unitats. [2.5 punts]

b)

Si s'obté una mostra aleatòria simple de 10 individus, quina és la probabilitat que la mitjana mostral sigui estrictament superior a 12.5 unitats? [2.5 punts]

c)

Determineu el valor de la constant $c$ de manera que l'interval simètric $(12 - c, 12 + c)$ contingui exactament el 90% de la població. [2.5 punts]

Problema 2 (Part I, 2.5 punts). Probabilitat condicional i teorema de Bayes

Una població es divideix genèticament en tres categories exhaustives i mútuament excloents, $A$, $B$ i $C$, amb proporcions respectives del $30\%$, $50\%$ i $20\%$ ($P(A) = 0.3$, $P(B) = 0.5$, $P(C) = 0.2$).

La probabilitat de desenvolupar una determinada patologia $E$ segons el grup és de $P(E|A) = 0.8$, $P(E|B) = 0.2$ i $P(E|C) = 0.01$.

Si se sap que un individu seleccionat a l'atzar està malalt ($E$), quina és la probabilitat que provingui del grup genètic $B$? [2.5 punts]

Problema 1 (Part II, 3 punts). Comparació de mitjanes de dos boscos

Es vol comparar la concentració mitjana poblacional d'un mineral present en el sòl de dos boscos diferents, A i B. Es recullen mostres independents de 5 punts triats aleatòriament a cada bosc, registrant els valors següents:

Grup · Mostra 1 · Mostra 2 · Mostra 3 · Mostra 4 · Mostra 5

Bosc A · 6.3 · 7.5 · 5.9 · 7.8 · 8.6

Bosc B · 7.8 · 8.3 · 6.9 · 8.3 · 9.3

a.

Suposant distribució normal i variàncies poblacionals desconegudes però iguals ($\sigma_A^2 = \sigma_B^2$), és possible concloure amb un nivell de significació $\alpha = 0.05$ que la mitjana poblacional del bosc B és superior a la del bosc A? [2 punts]

Sí

No

b.

Caldria modificar la conclusió presa a l'apartat anterior si el nivell de significació fos $\alpha = 0.10$? [0.5 punts]

Sí

No

Problema 1 (Part II, 3 punts). Comparació de mitjanes de dos boscos

Es vol comparar la concentració mitjana poblacional d'un mineral present en el sòl de dos boscos diferents, A i B. Es recullen mostres independents de 5 punts triats aleatòriament a cada bosc, registrant els valors següents:

Grup · Mostra 1 · Mostra 2 · Mostra 3 · Mostra 4 · Mostra 5

Bosc A · 6.3 · 7.5 · 5.9 · 7.8 · 8.6

Bosc B · 7.8 · 8.3 · 6.9 · 8.3 · 9.3

c)

Construïu un interval de confiança al 95% per a la mitjana poblacional de concentració al bosc B.

Límit inferior:

Límit superior:

Problema 2 (Part II, 3 punts). Test d'independència khi-quadrat de dos comportaments

En una recerca etològica s'avalua l'associació entre l'aparició de dos comportaments concrets (A i B) en rates en resposta a un estímul. S'observen 200 subjectes i es classifiquen a la següent taula de contingència:

· Comportament A (presència) · Comportament A (absència)

Comportament B (presència) · 48 · 80

Comportament B (absència) · 40 · 32

Tenint en compte un nivell de significació $\alpha = 0.05$, es pot concloure que existeix associació estadística entre la presència o absència d'ambdós comportaments? Proporcioneu de manera explícita la matriu de freqüències esperades sota la hipòtesi d'independència.

· Comp A (presència) · Comp A (absència)

Comp B (presència)

Comp B (absència)

Problema 3 (Part II, 2 punts). Corba de potència i selecció de contrast

a.

Un equip investigador vol detectar una diferència de mitjanes poblacionals de 5 unitats entre el grup control i el grup tractat, garantint una potència estadística mínima de 0.70 (70%) per a un nivell de significació $\alpha = 0.05$. Malgrat que la literatura científica aconsella mostres de mida $n = 20$, l'experiment té un cost elevat. S'ha calculat la següent corba de potència per a un test t bilateral amb $n_1 = n_2 = 11$ i $\sigma = 4.0$:

Segons aquesta corba, està justificat utilitzar la mida mostral de $n = 11$? Raoneu la resposta breument (màxim 2 línies). [1 punt]

b.

S'ha dut a terme l'experiment amb dues mostres independents d'11 subjectes cadascuna ($n = 11$ al control i $n = 11$ al tractat). Es disposa de les sortides següents:

LLISTAT 1

Media muestral de la diferencia = -0,065281

contraste t

Hipótesis nula: media = 0,0

Alternativa: no igual

P-valor = 0,034

LLISTAT 2

Comparación de Medias

contrastes t de comparación de medias

Hipótesis nula: media1 = media2

Hipótesis alt.: media1 <> media2

suponiendo varianzas iguales: P-Valor = 0,043

b.a. Identifiqueu el llistat adequat i determineu si es pot concloure l'existència de diferències entre els dos grups a un nivell de significació del 5%.

b.b. En cas d'acceptar la hipòtesi d'existència de diferències, es pot afirmar amb una probabilitat de 0.95 que la diferència de mitjanes és superior a 5? Justifiqueu la resposta en un màxim de dues línies.

Problema 4 (Part II, 2 punts). Contrast d'hipòtesis per a una distribució de Poisson

Es vol contrastar la hipòtesi nul·la que una variable aleatòria segueix una distribució de Poisson de paràmetre $\lambda = 2$ ($H_0: \lambda = 2$) enfront de l'alternativa que el paràmetre és superior a 2 ($H_1: \lambda > 2$).

S'ha proposat la següent regió crítica per a una mostra de mida $n = 5$:$$W = \left\{ (x_1, \dots, x_5) \;\middle|\; \sum_{i=1}^5 x_i > 12 \right\}$$

S'obté una mostra aleatòria simple amb els resultats següents: 3, 4, 1, 2, 3.

a.

Quina decisió s'ha de prendre aplicant directament la regió crítica $W$? [1 punt]

b.

Té aquesta regió crítica $W$ un nivell de significació (error de tipus I) menor o igual a 0.05? Justifiqueu-ho calculant la probabilitat corresponent. [1 punt]