Examen de Estadística UB 2023 · Exemples

Model A - Problema 1 [1 punt]

Considerant la variable $X =$ nivell de triglicèrids (TG en mg/dl), en condicions basals segueix una distribució normal amb mitjana poblacional de $180\text{ mg/dl}$ i desviació típica poblacional de $10\text{ mg/dl}$ ($X \sim N(180, 10)$).

Calculeu la probabilitat que la suma dels nivells de TG de dos subjectes escollits a l'atzar d'aquesta població sigui superior o igual a $370$ unitats (es pot expressar el resultat numèric o mitjançant la instrucció corresponent d'R).

Model A - Problema 2 - Opció A [1 punt]

Després de la intervenció combinada, la distribució de TG en la població amb síndrome metabòlica ($30\%$ dels subjectes) és $N(160, 8)$, mentre que en els individus que no en pateixen ($70\%$ restant) és $N(170, 7)$. Un individu codificat com 003143 presenta un valor de TG de 172 o superior, però per un error de registre es desconeix si patia o no la síndrome. Calculeu la probabilitat que patís síndrome metabòlica abans de la intervenció (es pot indicar com a comanda d'R).

OPCIÓ B:

A la població d'estudi inicial, el 30% presenta síndrome metabòlica, el 40% té IMC alt i el 60% té almenys una d'aquestes dues condicions. Si s'escullen a l'atzar 5 individus, calculeu la probabilitat que 4 o més presentin les dues característiques simultàniament.

Model A - Problema 3 (1.5 punts). Dades aparellades d'abans i després

Es mesuren els nivells de triglicèrids (TG) en 5 subjectes abans i després de la intervenció nutricional i d'exercici:

Individu 1

Individu 2

Individu 3

Individu 4

Individu 5

ABANS

182

195

178

183

184

DESPRÉS

164

180

171

175

175

a)

Assumint que la variable segueix un model normal, contrasteu si es pot concloure que la intervenció redueix significativament la mitjana poblacional de TG a un nivell de significació del 5%.

b)

Estimeu la reducció mitjana mitjançant un interval de confiança del 95%.

Model A - Problema 4. Proporció de resposta i disseny mostral

Model A - Problema 4 (1.5 punts). Proporció de resposta i disseny mostral

a.

(1 punt) Es seleccionen 200 voluntaris amb síndrome metabòlica que reben placebo i 300 que reben el tractament combinat. Al grup placebo, 40 subjectes aconsegueixen una reducció de TG de 10 punts o més, mentre que al grup tractat ho aconsegueixen 78 voluntaris. Es pot acceptar amb $\alpha = 0{,}05$ que el programa afavoreix la proporció d'èxit en la reducció de 10 o més punts?

Model B - Problema 4 (1.5 punts). Proporció de reducció forta i disseny mostral

b)

(0.5 punts) Es vol estimar la prevalença de síndrome metabòlica en dones d'entre 50 i 60 anys mitjançant un interval de confiança del 95% amb una precisió (marge d'error) del 2%. Calculeu la grandària mostral necessària en el cas més desfavorable ($p = 0{,}5$) i si s'assumeix la prevalença poblacional prèvia ($p = 0{,}3$).

Model A - Problema 5. Anàlisi de sortides d'R i disseny mostral segons potència

LLISTATS (NO TOTS SÓN VÀLIDS)

a. [0.5 punts] Es volen comparar els TG finals entre el grup tractat ($x_1$, $n = 10$) i el grup placebo ($x_2$, $n = 10$). A partir del llistat de sortides d'R, trieu i justifiqueu quins tests són els adients, indiqueu les hipòtesis i resoleu el contrast amb un nivell de significació del 5%:

1.

2.

LLISTATS (NO TOTS SÓN VÀLIDS)

b)

[0,5 punts] Per a un nou assaig clínic per comparar les mitjanes de dos grups amb $\alpha = 0{,}05$, es van obtenir les grandàries mostrals següents: 18, 13, 7, 69. Relacioneu cada cas de la taula amb la seva grandària mostral sense fer cap càlcul matemàtic:

CÀLCUL

POTÈNCIA

DIFERÈNCIA A DETECTAR

MIDA MOSTRAL

1

0.8

1

2

0.9

0.5

3

0.9

1

4

0.8

1.5

Escriviu a més la comanda d'R per trobar la grandària necessària per detectar una diferència de 10 unitats entre mitjanes poblacionals si la desviació típica comuna és de 15 unitats i la potència és de 0.85.

Model B - Problema 6 (4 punts). Test d'avaluació de conceptes (Preguntes 1 a 10)

Puntuació: cada encert val 0,4 punts; cada error resta 0,1 punts; en blanc no resta.

Model A - Problema 6. Test d'avaluació de conceptes: Contrast d'hipòtesis

Puntuació: cada encert suma 0,4 punts; cada error resta 0,1 punts; les preguntes en blanc no resten.

1. En un contrast d'hipòtesis sobre una proporció $p$ amb $\alpha = 0{,}05$ on $H_0: p = 0{,}5$ i $H_1: p \neq 0{,}5$, s'obté un valor experimental de $2{,}96$. En aquest cas, el p-valor serà igual a:

4. En un test plantejat amb $\alpha = 0{,}05$ s'obté un p-valor igual a $0{,}003$:

5. En un test plantejat amb $\alpha = 0{,}05$ s'obté un p-valor $= 0{,}22$:

6. En relació a la regió crítica d'un contrast d'hipòtesis, indiqueu quina afirmació és FALSA:

7. Es vol contrastar si la mitjana de TG abans de la intervenció és superior a $150\text{ mg/dl}$. En una mostra de $36$ voluntaris s'obté $\bar{x} = 165$ i $s = 18$. Escriviu la comanda d'R per calcular el p-valor i feu un esquema de la distribució.

9. A partir de la corba de potència d'un test per a una proporció amb $\alpha = 0{,}05$ i $n = 76$:

indiqueu quina afirmació és CERTA:

Model B - Problema 6 (4 punts). Test d'avaluació de conceptes (Preguntes 1 a 10)

Puntuació: cada encert val 0,4 punts; cada error resta 0,1 punts; en blanc no resta.

2. Un interval de confiança per a la mitjana poblacional d'una variable normal obtingut amb $n = 8$ és $[12{,}4, 16{,}6]$ al 95%. Considereu les afirmacions següents: (I) El 95% dels valors de la variable estan entre 12.4 i 16.6. (II) Si augmenta la mida mostral, l'amplitud de l'interval serà més gran.

Model B - Problema 6 (4 punts). Test d'avaluació de conceptes (Preguntes 1 a 10)

Puntuació: cada encert val 0,4 punts; cada error resta 0,1 punts; en blanc no resta.

3.

En un estudi sobre consum de tabac i presència de síndrome metabòlica es recullen les dades següents:

· Consumeix TABAC · NO consumeix TABAC

SÍNDROME METABÒLIC · 240 · 260

NO SÍNDROME METABÒLIC · 150 · 350

Per resoldre el test, la regió crítica adient és la corresponent a:

8.

Es vol analitzar la relació entre la presència de síndrome metabòlica i l'al·lel del gen GG (GGA, GGB, GGC) en 350 dones. Quina tècnica estadística s'ha d'emprar?

Model B - Problema 6 (4 punts). Test d'avaluació de conceptes (Preguntes 1 a 10)

Puntuació: cada encert val 0,4 punts; cada error resta 0,1 punts; en blanc no resta.

10. A partir de la sortida de regressió lineal simple d'R ( Estimate (Intercept) = -3.48910, Estimate X = 1.89235, R-squared = 0.8212, F-statistic = 5.094 sobre 3 i 21 DF, p = 0,008332), valoreu:

Model B - Problema 1. Distribució de la suma de tres variables normals

En condicions basals, el nivell de triglicèrids $X = \text{TG}$ (mg/dl) segueix una distribució normal amb mitjana poblacional de $180\text{ mg/dl}$ i desviació típica de $10\text{ mg/dl}$ ($X \sim N(180, 10)$).

Calculeu la probabilitat que la suma dels valors de TG de 3 subjectes triats a l'atzar i de forma independent d'aquesta població sigui inferior o igual a 550 unitats. Expresseu la comanda corresponent en R.

Model B - Problema 2 - Opció A

Després de la intervenció combinada, la distribució de TG en subjectes amb síndrome metabòlica (30% dels subjectes) és $N(160, 8)$, i en els individus que no en pateixen (70%) és $N(170, 7)$. Un individu té un valor de TG de 172 o més, però es desconeix si patia prèviament la síndrome. Calculeu la probabilitat que patís síndrome metabòlica abans de la intervenció (es pot deixar com a comanda d'R).

Model B - Problema 2 - Opció B

A la població inicial, el 40% presenta HDL baix, el 20% té IMC alt i el 15% presenta totes dues condicions simultàniament. Si s'escullen a l'atzar 5 individus, calculeu la probabilitat que 4 o més individus presentin almenys una de les dues característiques (HDL baix o IMC alt).

Es comparen els nivells de TG abans de la intervenció entre dos grups independents de 5 subjectes:

· Subjecte 1 · Subjecte 2 · Subjecte 3 · Subjecte 4 · Subjecte 5

SENSE SÍNDROME · 162 · 170 · 168 · 163 · 169

AMB SÍNDROME · 164 · 180 · 171 · 175 · 175

a.

Assumint normalitat, contrasteu si hi ha diferències significatives entre les mitjanes poblacionals dels dos grups ($\alpha = 0{,}10$).

Model B - Problema 3

Es comparen els nivells de TG abans de la intervenció entre dos grups independents de 5 subjectes:

Es comparen els nivells de TG abans de la intervenció entre dos grups independents de 5 subjectes:

· Subjecte 1 · Subjecte 2 · Subjecte 3 · Subjecte 4 · Subjecte 5

SENSE SÍNDROME · 162 · 170 · 168 · 163 · 169

AMB SÍNDROME · 164 · 180 · 171 · 175 · 175

b.

Estimeu la mitjana poblacional del grup de subjectes sense síndrome mitjançant un interval de confiança del 95%.

$IC_{95\%} = [\,$

$,\;$

$\,]$

Model B - Problema 4 (1.5 punts). Proporció de reducció forta i disseny mostral

Model B - Problema 4 (1.5 punts). Proporció de reducció forta i disseny mostral

a)

[1 punt] Es disposa de 200 voluntaris al grup placebo i 400 al grup tractat. Al grup placebo, 40 aconsegueixen una reducció de TG de 20 punts o més, mentre que al grup tractat ho assoleixen 118 voluntaris. Es pot concloure amb $\alpha = 0{,}05$ que la intervenció incrementa la proporció d'èxit en reduir 20 o més punts?

Model B - Problema 4 (1.5 punts). Proporció de reducció forta i disseny mostral

b. (0.5 punts) Es vol avaluar la prevalença de síndrome metabòlica en dones de 50 a 60 anys mitjançant un interval de confiança del 95% amb una precisió (marge d'error) del 3% ($d = 0{,}03$). Calculeu la mida de mostra necessària en el cas més conservador ($p = 0{,}5$) i si s'assumeix la prevalença estimada de l'estudi ($p = 0{,}30$).

1.

dones

2.

dones

LLISTATS (NO TOTS SÓN VÀLIDS)

Model B - Problema 5. Dades aparellades en R i potència d'una mostra

a) (0.5 punts) Es volen comparar els resultats de TG abans (x1) i després (x2) de la intervenció en un mateix grup de 10 voluntaris. A partir de les sortides del llistat estadístic, indiqueu les hipòtesis, el llistat adequat i la conclusió al 5% de significació:

LLISTATS (NO TOTS SÓN VÀLIDS)

b. (0.5 punts) Per dissenyar un contrast de comparació de dues mitjanes ($\alpha = 0{,}05$), s'obtenen les grandàries mostrals següents: 7, 13, 18, 69. Empleneu la taula sense fer càlculs:

CÀLCUL

POTÈNCIA

DIFERÈNCIA A DETECTAR

MIDA MOSTRAL

1

0.9

1

2

0.8

1.5

3

0.8

1

4

0.9

0.5

Escriviu la comanda d'R necessària per determinar la grandària mostral per detectar una diferència de 10 unitats respecte d'un valor de referència en un contrast sobre la mitjana d'una població normal ($\sigma = 15$, potència 0.85, contrast bilateral, $\alpha = 0{,}05$).

Model B - Problema 6 (4 punts). Test d'avaluació de conceptes (Preguntes 1 a 10)

Puntuació: cada encert val 0,4 punts; cada error resta 0,1 punts; en blanc no resta.

1. En un test d'hipòtesis sobre una proporció $p$ amb $\alpha = 0{,}05$ on $H_0: p = 0{,}5$ i $H_1: p > 0{,}5$, s'obté un valor experimental de $2{,}96$. En aquest cas, el p-valor serà igual a:

4. En un test plantejat amb $\alpha = 0{,}05$ s'obté un p-valor igual a $0{,}30$:

5. En un test amb $\alpha = 0{,}05$ s'obté un p-valor $= 0{,}012$:

6. En relació a la regió crítica, indiqueu quina afirmació és FALSA:

7. Es vol analitzar si la suplementació permet mantenir la mitjana de TG per sota de 150 mg/dl en almenys el 80% de la població ($H_0: p = 0{,}8$ vs $H_1: p > 0{,}8$). En una mostra de 200 individus, 170 presenten TG per sota de 150. Indiqueu la comanda d'R per trobar el p-valor.

9. A partir del gràfic de la funció de potència per a un contrast sobre la mitjana d'una població normal ($H_0: \mu = 10$, $\alpha = 0{,}05$, $\sigma = 1{,}0$, $n = 13$):

Indiqueu quina afirmació és CERTA:

Model B - Problema 6 (4 punts). Test d'avaluació de conceptes (Preguntes 1 a 10)

Puntuació: cada encert val 0,4 punts; cada error resta 0,1 punts; en blanc no resta.

2. Un interval de confiança al 95% per a la mitjana d'una població normal obtingut amb $n = 8$ és $[12{,}4, 16{,}6]$. Quina de les afirmacions següents és certa? (I) El 95% dels valors de la variable estan entre 12.4 i 16.6. (II) Si disminueix la mida mostral, l'amplitud de l'interval serà més gran.

Model B - Problema 6 (4 punts). Test d'avaluació de conceptes (Preguntes 1 a 10)

Puntuació: cada encert val 0,4 punts; cada error resta 0,1 punts; en blanc no resta.

8. S'avalua la relació entre 3 al·lels d'un gen i la presència o absència de síndrome metabòlica en 350 dones:

· GGA · GGB · GGC

PRESÈNCIA SM · 12 · 158 · 30

NO PRESÈNCIA SM · 15 · 30 · 105

Quina tècnica estadística d'inferència s'ha d'emprar?

Model B - Problema 6 (4 punts). Test d'avaluació de conceptes (Preguntes 1 a 10)

Puntuació: cada encert val 0,4 punts; cada error resta 0,1 punts; en blanc no resta.

3.

Es mesura el consum mensual quantitatiu de dues drogues diferents en 50 voluntaris consumidors. Per avaluar la relació entre les dues variables numèriques contínues, la tècnica estadística adient és:

10.

A partir de la sortida d'R de regressió lineal simple ($R^2 = 0{,}1212$, $F = 5{,}094$ sobre 3 i 21 GL, $p = 0{,}008332$), valoreu les afirmacions següents: (1) Es tracta d'un model que permet ajustar molt bé la variable resposta donat que el test F té un p-valor molt baix. (2) Amb el test F acceptem que la correlació poblacional és molt elevada. (3) El valor estimat de Y quan X és igual a 0.5 és aproximadament igual a 3.64.