Examen de Estadística UB 2021 · Juny

Problema 0 (2 punts). Homogeneïtat i anàlisi de dades

a. (1 punt) En un assaig clínic dissenyat per avaluar la seguretat de la vacuna Ad26.COV2, es comparen les reaccions adverses registrades davant d'un grup control (placebo). S'han categoritzat cinc efectes secundaris distints (A, B, C, D i E), a més de la categoria CAP per a aquells voluntaris que no n'han manifestat cap. Les freqüències observades són les següents:

Grup · A · B · C · D · E · CAP · TOTAL VOLUNTARIS

Ad26.COV2. · 50 · 56 · 28 · 49 · 227 · 1243 · 1653

Placebo · 38 · 45 · 37 · 50 · 230 · 1100 · 1500

Mitjançant el programari estadístic i fixant un nivell de significació de $\alpha = 0{,}05$, determineu si es pot concloure que hi ha diferències significatives entre ambdós tractaments.

Problema 0.b — OPCIÓ A

A partir d'un conjunt de dades d'expressió gènica corresponents a pacients tractats amb un fàrmac quimioteràpic innovador i a un grup de control, contrasteu al nivell de significació $\alpha = 0,05$ si existeixen discrepàncies entre les mitjanes poblacionals d'ambdós col·lectius.

Problema 0.b — OPCIÓ B

En una recerca orientada a modelitzar la concentració d'estradiol a partir de l'avenç de la gestació (expressada en setmanes), es registren les dades d'una mostra de 10 dones embarassades:

Setmana · 10 · 20 · 25 · 28 · 30 · 32 · 34 · 35

Nivell Est · 1.5 · 2.6 · 2.9 · 3.4 · 6.5 · 6.9 · 7.2 · 7.8

Determineu l'equació de la recta de regressió lineal simple, el coeficient de correlació de Pearson i els intervals de confiança al 95% per als paràmetres del model. A continuació, estimeu l'interval de predicció del nivell d'estradiol per a una gestant concreta a la setmana 33, així com l'interval de confiança per a la mitjana poblacional a aquesta mateixa setmana, tot indicant en què difereixen ambdós intervals.

S'està analitzant la presència d'un contaminant químic $C$ en un tram del riu Llobregat. S'ha establert que, durant les jornades laborables, la concentració observada segueix una distribució normal $N(\mu = 15;\, \sigma = 2)$. D'acord amb la normativa ambiental vigent, els nivells d'aquest compost no haurien de superar el límit de 16,5 unitats.

a.

Calculeu la probabilitat que en un dia laborable qualsevol es detecti una concentració que superi el límit permès de 16,5.

S'està analitzant la presència d'un contaminant químic $C$ en un tram del riu Llobregat. S'ha establert que, durant les jornades laborables, la concentració observada segueix una distribució normal $N(\mu = 15;\, \sigma = 2)$. D'acord amb la normativa ambiental vigent, els nivells d'aquest compost no haurien de superar el límit de 16,5 unitats.

b.

Si se seleccionen a l'atzar 5 dies laborables independents, quina és la probabilitat que com a màxim en 2 d'aquests dies es registri un nivell de contaminant superior a 16?

Problema 1 (2 punts). Distribució normal i binomial

S'està analitzant la presència d'un contaminant químic $C$ en un tram del riu Llobregat. S'ha establert que, durant les jornades laborables, la concentració observada segueix una distribució normal $N(\mu = 15; \sigma = 2)$. D'acord amb la normativa ambiental vigent, els nivells d'aquest compost no haurien de superar el límit de 16,5 unitats.

a.

Es duu a terme un cribratge epidemiològic sobre hipertensió arterial en un determinat grup de població, en el qual se sap que el 15% pateix aquesta malaltia. A les persones participants se'ls demana si tenen constància de patir hipertensió. Les observacions indiquen que el 80% dels que efectivament la pateixen en són conscients, mentre que el 20% dels individus sans manifesten erròniament que sí que en tenen. Si una persona triada a l'atzar afirma que creu patir hipertensió, quina és la probabilitat real que la pateixi de veritat?

Problema 1 (2 punts). Distribució normal i binomial

S'està analitzant la presència d'un contaminant químic $C$ en un tram del riu Llobregat. S'ha establert que, durant les jornades laborables, la concentració observada segueix una distribució normal $N(\mu = 15; \sigma = 2)$. D'acord amb la normativa ambiental vigent, els nivells d'aquest compost no haurien de superar el límit de 16,5 unitats.

b.

S'estima que la probabilitat de desenvolupar pneumònia greu després de ser ingressat per COVID-19 és de 0,11 en pacients de més de 70 anys. Per a la franja d'edat compresa entre els 50 i els 70 anys, aquest risc se situa en 0,06. Si en un dia determinat s'hospitalitzen 3 pacients del grup de més de 70 anys i 4 pacients del tram entre 50 i 70 anys, quina és la probabilitat que entre tots ells es registrin exactament 3 casos de pneumònia greu?

Problema 3 (2 punts). Contrast de mostres aparellades i proporció

a. En una investigació clínica s'avalua la concentració d'una hormona en 6 individus abans i després de rebre un tractament terapèutic determinat:

Pacient

1

2

3

4

5

6

Abans

4.5

5.2

4.8

4.9

5.4

5.7

Després

3.8

4.2

4.9

4.5

5.0

5.6

Suposant normalitat en la variable de les diferències individuals, es pot concloure a un nivell de significació del 5% que el fàrmac aconsegueix disminuir la concentració mitjana de l'hormona? Obtingueu així mateix l'interval de confiança al 95% per a la mitjana poblacional d'aquesta disminució.

Problema 3 (2 punts). Contrast de mostres aparellades i proporció

b. Pel que fa a la seguretat del fàrmac, s'ha administrat a un grup de 200 voluntaris per controlar la incidència de reaccions adverses greus, i s'ha observat que 12 pacients n'han manifestat alguna. La normativa estableix que el tractament només podrà comercialitzar-se si és possible demostrar, amb un nivell de significació del 5%, que la proporció poblacional d'efectes secundaris greus és inferior al 8%. En vista d'aquests resultats mostrals, considereu que el medicament serà autoritzat per a la comercialització?

1.

2.

3.

Sí

No

Problema 4 (2 punts). Independència, sortida R i errors de contrast

a. (0,5 punts) En un estudi es construeix una taula de contingència de dimensions $3 \times 4$ amb l'objectiu de contrastar la hipòtesi d'independència entre dues variables. A partir d'una mostra total de 300 individus, s'obté un estadístic experimental de $\chi^2_{\text{exp}} = 122{,}5$. Resoleu el test al nivell de significació $\alpha = 0{,}05$ i calculeu el coeficient de contingència $C$ i la seva versió corregida (o $V$ de Cramér) per valorar la intensitat de la relació.

Problema 4 (2 punts). Independència, sortida R i errors de contrast

b)

(1 punt) En una recerca de biologia marina es compara la longitud corporal d'espècimens pertanyents a dues espècies distintes de nudibranquis. Se n'obté la següent sortida computacional d'R:

Suposant normalitat en les dues poblacions i a un nivell de significació de $\alpha = 0,05$, plantegeu els contrastos pertinents (variàncies i mitjanes), indiqueu les regions crítiques o p-valors i traieu les conclusions biològiques escaients.

Problema 4 (2 punts). Independència, sortida R i errors de contrast

c)

(0,5 punts) Sigui $X$ una variable aleatòria contínua amb suport a l'interval $[1, 2]$. Es vol resoldre un test d'hipòtesis simple on:

$$H_0: f(x) = 2x - 2, \quad 1 \le x \le 2$$

$$H_1: X \sim N(\mu = 1{,}7; \sigma = 0{,}12)$$

Es recullen dues observacions independents de la variable, $(X_1, X_2)$. La regió crítica definida per acceptar $H_1$ consisteix en el fet que ambdues observacions superin el valor d'1,5 ($W = \{(x_1, x_2) \mid x_1 > 1{,}5 \text{ i } x_2 > 1{,}5\}$). Calculeu la probabilitat d'error tipus I ($\alpha$), la probabilitat d'error tipus II ($\beta$) i la potència del test.