Examen de Matemàtiques URV 2022 · Exemples

$$I = \iint_D \cos(x)\,dA$$

on la regió d'integració $D$ és:

$$D = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2: 0 \le x \le 2\pi,\ y \le \sin(x),\ y \ge \frac{1}{\sqrt{2}} \right\}$$

1. 2022 A - Exercici 2. Integral doble de funció lineal

Calculeu la integral doble següent sobre el domini pla $D$:$$\iint_D (2x - y)\,dA$$on la regió d'integració ve definida pel conjunt d'inequacions:$$D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x - y \ge 0,\ x + y \le 2,\ y \ge 0\}$$

$$I = \iint_D \cos(x)\,dA$$

on la regió d'integració $D$ és:

$$D = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2: 0 \le x \le 2\pi,\ y \le \sin(x),\ y \ge \frac{1}{\sqrt{2}} \right\}$$

2022 A - Exercici 3. Extrems relatius i punts de sella

Trobeu i classifiqueu tots els punts crítics de la funció escalar:

$$f(x,y) = x + x^2 y - \frac{4y^3}{3}$$

Primer punt crític (menor coordenada $x$)

$x_1 =$

$y_1 =$

Segon punt crític (major coordenada $x$)

$x_2 =$

$y_2 =$

$$I = \iint_D \cos(x)\,dA$$

on la regió d'integració $D$ és:

$$D = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2: 0 \le x \le 2\pi,\ y \le \sin(x),\ y \ge \frac{1}{\sqrt{2}} \right\}$$

2022 A - Exercici 1 (3 punts). Modelització del refredament de lava

Un volcà en erupció expulsa lava a $1000\,^\circ\text{C}$. Un cop formada la colada de lava volem estudiar el refredament d'un cert bloc immòbil de lava que està en contacte amb l'aire. La temperatura ambient és igual a $20\,^\circ\text{C}$ i suposarem que és constant. Observem que la temperatura d'aquest bloc de lava ha passat de $1000\,^\circ\text{C}$ a $500\,^\circ\text{C}$ en $12\text{ hores}$. Quant de temps trigarà el bloc a passar dels actuals $500\,^\circ\text{C}$ als $100\,^\circ\text{C}$?

Nota: Per respondre aquest problema cal plantejar i resoldre l'equació diferencial corresponent. Identifiqueu també les variables i constants que intervenen en aquest fenomen.

$$I = \iint_D \cos(x)\,dA$$

on la regió d'integració $D$ és:

$$D = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2: 0 \le x \le 2\pi,\ y \le \sin(x),\ y \ge \frac{1}{\sqrt{2}} \right\}$$

Novembre 2022 - Exercici 1. Punts crítics de camp escalar

Considereu la funció real de dues variables:

$$f(x, y) = -2y^3 - 2x^2 - 2xy + 5y$$

Calculeu els seus punts crítics i determineu la seva naturalesa (màxims, mínims o punts de sella).

Primer punt crític:

Segon punt crític:

Versió C (Novembre) - Exercici 2. Integral doble amb funció sinus

Avalueu la integral doble:

$$I = \iint_D \cos(x)\,dA$$

on la regió d'integració $D$ és:

$$D = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2: 0 \le x \le 2\pi,\ y \le \sin(x),\ y \ge \frac{1}{\sqrt{2}} \right\}$$

Exercici 1. Extrems relatius de funció bidimensional

Determineu els punts crítics i la seva classificació per a la funció:$$f(x, y) = x^3 + 2xy - 2y^2 - 10x$$

Classificació:

Classificació:

$$I = \iint_D \cos(x)\,dA$$

on la regió d'integració $D$ és:

$$D = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2: 0 \le x \le 2\pi,\ y \le \sin(x),\ y \ge \frac{1}{\sqrt{2}} \right\}$$

Novembre 2022 - Exercici 2. Integral doble de sin(x)

Calculeu el valor de la integral doble següent:

$$I = \iint_D \sin(x)\,dA$$

on el domini $D$ està delimitat per:

$$D = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^2: -\pi \le x \le \pi,\, y \le \cos(x), \, y \ge \frac{1}{\sqrt{2}}\right\}$$

$$I = \iint_D \cos(x)\,dA$$

on la regió d'integració $D$ és:

$$D = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2: 0 \le x \le 2\pi,\ y \le \sin(x),\ y \ge \frac{1}{\sqrt{2}} \right\}$$

Novembre 2022 - Exercici 3. Model de desintegració del Carboni-14

El període de semidesintegració (o temps de vida mitjana) de l'isòtop Carboni-14 és de $t_{1/2} = 5730$ anys. En els éssers vius, la proporció d'àtoms de C-14 respecte als àtoms totals de carboni es manté constant en 1 àtom per cada $10^{12}$ àtoms de carboni.

a.

Plantegeu i deduïu la llei de desintegració radioactiva de la massa $M(t)$ a partir de l'equació diferencial.

b.

Calculeu la constant de desintegració $\lambda$ associada al C-14.

Gener (Versió D) - Exercici 1. Refredament tèrmic amb temperatura variable

Un volcà en erupció expulsa lava a $1000^\circ\text{C}$. Un cop formada la colada de lava volem estudiar el refredament d'un cert bloc immòbil de lava que està en contacte amb l'aire. La temperatura ambient és igual a $30^\circ\text{C}$ i suposarem que és constant. Observem que la temperatura d'aquest bloc de lava ha passat de $1000^\circ\text{C}$ a $500^\circ\text{C}$ en 14 hores. Quant de temps trigarà el bloc a passar dels actuals $500^\circ\text{C}$ als $100^\circ\text{C}$?

Nota: Plantegeu i resoleu l'equació diferencial associada identificant les variables i constants.

a)

Deducció del model diferencial i resolució:

b)

Gener (Versió D) - Exercici 2. Integral doble en domini triangular

Avalueu la integral doble:

$$\iint_D (4x - 3y) \, dA$$

on la regió $D$ està definida per:

$$D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2: x + y \ge -2, \; x - y \le 0, \; y \le 0\}$$

Gener (Versió D) - Exercici 3. Punts crítics i matriu Hessiana

Trobeu i classifiqueu els extrems relatius de la funció:

$$f(x,y) = x^2 - y - xy + y^3$$

Punt crític 1 (amb menor valor de $y$):

Coordenada $x$:

Coordenada $y$:

Punt crític 2 (amb major valor de $y$):

Coordenada $x$:

Coordenada $y$:

Versió C - Exercici 1. Refredament de lava de 800 a 100 graus

Un bloc immòbil de lava es refreda en contacte amb l'aire a una temperatura ambient constant $Q_0 = 20^\circ\text{C}$. La seva temperatura inicial és de $800^\circ\text{C}$ i arriba a $500^\circ\text{C}$ al cap de 8 hores. Quant de temps addicional trigarà a refredar-se des dels $500^\circ\text{C}$ fins als $100^\circ\text{C}$?