Examen de Matemàtiques URV 2022 · Primer Parcial 2022 - Modelo A

Considera los siguientes subespacios de $\mathbb{R}^4$:

$$E = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \mid x = 2y + z + t,\ x + y + z = 2t,\ 2x = y + 3t\}$$

$$F = \langle (1, -1, 2, 1),\ (2, 1, -1, 1),\ (3, 0, 1, 2) \rangle$$

a)

Determina una base y la dimensión de $E$ y de $F$.

b)

Halla una base y la dimensión del subespacio intersección $E \cap F$.

c)

Halla una base y la dimensión del subespacio suma $E + F$.

Pregunta 2. Matriz asociada a una transformación lineal

Dada la aplicación lineal $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ definida por:

$$f(x, y, z) = (x + y + z, 2x - y + 3z)$$

y las siguientes bases de $\mathbb{R}^3$ y $\mathbb{R}^2$:

$$B_1 = \{(1, 2, 3), (-1, -1, 1), (1, 0, 1)\} \subset \mathbb{R}^3$$

$$B_2 = \{(4, 3), (5, 4)\} \subset \mathbb{R}^2$$

Calcula la matriz asociada a $f$ respecto a estas bases, denotada por $[f]_{B_1, B_2}$.

Pregunta 3. Diagonalización de una matriz con parámetro

Dada la matriz dependiente del parámetro real $b \in \mathbb{R}$:

$$A = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 1 \\ 6 & 3 & b-3 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}$$

Discute la diagonalizabilidad de la matriz $A$ en función de los posibles valores del parámetro $b$.