Examen de Matematiques Iii UPF 2017 · Juny

Qüestió 1 [0,5 punts]. Vector propi i valor propi associat

Considereu la matriu real:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 6 \\ 4 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$

Comproveu si el vector $v = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ és vector propi de la matriu $A$. En cas afirmatiu, determineu el valor propi associat corresponent.

Sí

No

Qüestió 2 [0,5 punts]. Menors principals d'ordre 2

Calculeu tots els menors principals d'ordre 2 corresponents a la matriu:

$$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 6 \\ 4 & 5 & 7 \\ 1 & -1 & 4 \end{pmatrix}$$

1.

2.

3.

Qüestió 3 (0,5 punts). Concavitat o convexitat d'una funció escalar

Analitzeu si la funció $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 + xy + xz$ és còncava o convexa al seu domini. Justifiqueu la resposta de manera raonada.

Qüestió 4 (0,5 punts). Caràcter de l'òptim mitjançant la funció lagrangiana

Es considera el següent problema d'optimització condicionada:

$$\max / \min \quad f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$$

subjecte a la restricció:

$$x + y + z = 3$$

Se sap que el sistema associat al mètode dels multiplicadors de Lagrange té com a punt crític $(1, 1, 1)$ amb multiplicador associat $\lambda = 2$. Raoneu si aquest candidat és un punt de màxim o de mínim.

Trobeu la solució del problema de valor inicial:

$$\dot{x} = 3x + 2, \quad x(0) = 1$$

Sigui la funció de tres variables $f(x, y, z) = 3 - x^2 + 2x - y^2 - z^2$.

a. Trobeu els òptims de la funció $f(x, y, z)$ en el seu domini lliure. Si no existeix cap màxim o cap mínim, justifiqueu-ne el motiu.

Punt crític:

$(x, y, z) = ($ $,$ $,$ $)$

Classificació del punt crític:

Valor de la funció en l'extrem:

$f(1, 0, 0) =$

Justificació sobre l'existència de mínims:

Sigui la funció de tres variables $f(x, y, z) = 3 - x^2 + 2x - y^2 - z^2$.

b. Trobeu els extrems de $f(x, y, z)$ subjecta a la condició $y + z = 4$. Si no presenta algun extrem, justifiqueu per què.

Punt crític condicionat:

$(x, y, z) = ($ $,$ $,$ $)$

Multiplicador de Lagrange $\lambda$:

$\lambda =$

Classificació del punt:

Justificació sobre l'existència de mínims:

Sigui la funció de tres variables $f(x, y, z) = 3 - x^2 + 2x - y^2 - z^2$.

c. Determineu els òptims de $f(x, y, z)$ sota el sistema de restriccions de desigualtat:$$\begin{cases} y + z \le 4 \\ x^2 + y^2 + z^2 \le 9 \end{cases}$$Si no existeix màxim o mínim, justifiqueu la resposta.

Punt on s'assoleix el màxim global:

$(x, y, z) = ($ $,$ $,$ $)$

Valor màxim: $f =$

Punt on s'assoleix el mínim global:

$(x, y, z) = ($ $,$ $,$ $)$

Valor mínim: $f =$

Problema 7 (2,5 punts). EDO lineal de segon ordre amb coeficients constants

Considereu l'equació diferencial:

$$\ddot{x} + a\dot{x} + bx = 4e^{2t}$$

on $a$ i $b$ són paràmetres reals constants.

a)

Determineu la relació que han de complir els coeficients $a$ i $b$ per tal que la funció $x(t) = e^{2t}$ en sigui solució particular.

b)

Trobeu la solució general de l'equació en funció del paràmetre $a$ en el supòsit que $b = 0$.

Problema 8 (2 punts). Equació en diferències de segon ordre

Considereu l'equació en diferències de segon ordre no homogènia:

$$x_{t+2} + \frac{\sqrt{2}}{2} x_{t+1} - x_t = (-\sqrt{2})^t$$

a.

Resoleu l'equació trobant la seva solució general.

b.

Trobeu la solució particular que compleix les condicions $x_0 = 1$ i $x_2 = \frac{10}{3}$ (atenció: la segona condició s'imposa a $x_2$, no pas a $x_1$).

c.

És el sistema dinàmic asimptòticament estable? Justifiqueu la resposta.

Sí

No