Ejercicio Qüestió 3 · Matematiques Iii UPF Juny 2017

Caràcter de la funció (còncava o convexa):

Solución: Convexa / Estrictament convexa

Justifiqueu la resposta de manera raonada.

Solución: Calculem la matriu hessiana $H_f(x, y, z)$ a partir de les segones derivades parcials: • $f_x = 2x + y + z,\ f_y = 2y + x,\ f_z = 2z + x$ • $f_{xx} = 2,\ f_{yy} = 2,\ f_{zz} = 2$ • $f_{xy} = f_{yx} = 1,\ f_{xz} = f_{zx} = 1,\ f_{yz} = f_{zy} = 0$ $$H_f = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Avaluem els menors principals dominants: • $\Delta_1 = |2| = 2 > 0$ • $\Delta_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 > 0$ • $\Delta_3 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 2(4 - 0) - 1(2 - 0) + 1(0 - 2) = 8 - 2 - 2 = 4 > 0$ Com que tots els menors principals dominants són estrictament positius, la matriu hessiana és definida positiva a tot $\mathbb{R}^3$, per la qual cosa $f$ és estrictament convexa (i, per tant, convexa).