Examen de Matemàtiques I UPF 2015 · Final (Curs 2015-16)

Exercici 1 (15 punts). Domini i recorregut d'una funció

Es considera la funció definida per:

$$f(x) = e^{x-1} + \sqrt{\frac{(4 - 2x)(x - 1)}{x}}$$

a.

Determineu de forma justificada el domini de definició de la funció $f$.

b.

Justifiqueu que el valor $2$ forma part del recorregut o imatge de la funció.

c.

Proveu que $0$ no pertany al recorregut de $f$.

Exercici 2 (10 punts). Ortogonalitat de vectors i transformacions gràfiques

Siguin els vectors $\vec{u} = (e^x, 2, -1)$ i $\vec{v} = (2e^{-2x}, y, 2)$, els quals són mútuament perpendiculars (ortogonals).

a.

Deduïu una equació explícita per a la variable $y$ en funció de $x$.

b.

Descriviu com es pot obtenir la representació gràfica d'aquesta funció aplicant successives transformacions elementals del tipus $\pm f(\pm x \pm a) \pm b$ a partir de la gràfica base de $y = e^x$.

Exercici 3 (10 punts). Models exponencials d'evolució de beneficis

L'any 2005 els guanys de l'empresa A van assolir $1$ milió d'euros, amb una taxa de creixement anual constant del $3\%$. D'altra banda, els guanys de l'empresa B segueixen una dinàmica exponencial; l'any 2005 van ser de $20$ milions d'euros, mentre que el 2009 es van reduir a $8{,}1920$ milions d'euros.

a.

Escriviu l'expressió dels beneficis de l'empresa A com a funció de $t$ (en milions d'euros), assignant $t = 0$ a l'any 2005.

b.

Determineu l'expressió corresponent per a la funció de beneficis de l'empresa B.

c.

Calculeu en quin any totes dues empreses obtindran exactament la mateixa quantitat de benefici.

D'una funció $f(x)$ es coneix que la seva segona derivada és $f''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$, així com les condicions puntuals $f(1) = \frac{1}{2}$ i $f'(1) = -\frac{1}{4}$.

a.

Trobeu el polinomi d'aproximació quadràtica (polinomi de Taylor d'ordre 2) per a $f(x)$ al voltant del punt $x = 0$.

b.

Feu servir el polinomi obtingut per calcular un valor aproximat de $\frac{1}{1,02}$.

c.

Calculeu el valor del diferencial $df$ quan la variable passa de $x = 0$ a $x = 0,02$.

Exercici 5 (15 punts). Punts estacionaris i optimització d'una funció

Sigui $f(x)$ una funció derivable definida a $\mathbb{R}$ tal que per a una constant $k \ge 0$ la seva derivada és:

$$f'(x) = m(x)(-x^2 + k^2)$$

on $m(x)$ és contínua i estrictament positiva ($m(x) > 0$) per a tot $x \in \mathbb{R}$.

Determineu els punts estacionaris de la funció en funció del paràmetre $k$,dr classificant-los com a màxims o mínims locals. Justifiqueu, a més, si és possible deduir a partir d'aquesta informació si es tracta d'extrems globals.

Donades les funcions $f(x) = ax^2$ i $g(x) = \sqrt{x}$, trobeu el valor del paràmetre real positiu $a$ de manera que la regió delimitada per ambdues corbes tingui una àrea igual a 1.

Exercici 7 (15 punts). Derivació implícita i rectes tangents a una corba

Considereu la corba plana definida per l'equació:

$$y^3 - xy^2 - 9x^2y - 3x^3 = 12$$

a.

Obtingueu l'expressió de la derivada $y'(x)$ mitjançant derivació implícita.

b.

Calculeu l'equació de la recta tangent a la corba en l'únic punt en què $x = -1$ i $y > 0$.

c.

Esbrineu si existeixen punts $(x, y)$ sobre la corba en què la recta tangent sigui paral·lela a la recta $y = -x + 1$. En cas que n'hi hagi, determineu les coordenades d'un punt que compleixi a més la condició $y \neq 0$.

Es consideren els vectors $\vec{u} = (3, 5, -1)$, $\vec{v} = (-1, 0, -1)$ i $\vec{w} = (2, 0, -3)$.

a.

Raoneu si el vector $\vec{w}$ es pot expressar com a combinació lineal dels vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$.

Sí

No

Es consideren els vectors $\vec{u} = (3, 5, -1)$, $\vec{v} = (-1, 0, -1)$ i $\vec{w} = (2, 0, -3)$.

b.

Calculeu el producte matricial $D = \vec{u}^T \vec{v}$ (on $\vec{u}^T$ és el vector columna associat a $\vec{u}$).

c.

Trobeu tots els vectors $\vec{x} = (x, y, z)$ tals que compleixin $D\vec{x}^T = \vec{0}$.

d.

Sigui $A$ la matriu quadrada les files de la qual són els vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$. Trobeu una matriu no nul·la $B \neq 0_{3\times 3}$ tal que el producte $AB$ tingui únicament zeros a la seva diagonal principal. Quina propietat geomètrica han de verificar les columnes de qualsevol matriu $B$ que compleixi aquesta condició?