Exercici 8 - Apartats b, c i d · Matemàtiques I UPF 2015

Tema: Matrius: operacions, inversa, matrius ortogonals i potències · Del examen Examen Final Matemàtiques I (Curs 2015-16) (2015)

Enunciado

Es consideren els vectors u⃗=(3,5,−1)\vec{u} = (3, 5, -1), v⃗=(−1,0,−1)\vec{v} = (-1, 0, -1) i w⃗=(2,0,−3)\vec{w} = (2, 0, -3).

b.

Calculeu el producte matricial D=u⃗Tv⃗D = \vec{u}^T \vec{v} (on u⃗T\vec{u}^T és el vector columna associat a u⃗\vec{u}).

c.

Trobeu tots els vectors x⃗=(x,y,z)\vec{x} = (x, y, z) tals que compleixin Dx⃗T=0⃗D\vec{x}^T = \vec{0}.

d.

Sigui AA la matriu quadrada les files de la qual són els vectors u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} i w⃗\vec{w}. Trobeu una matriu no nul·la B≠03×3B \neq 0_{3\times 3} tal que el producte ABAB tingui únicament zeros a la seva diagonal principal. Quina propietat geomètrica han de verificar les columnes de qualsevol matriu BB que compleixi aquesta condició?

Enunciado: Exercici 8 - Apartats b, c i d · Matemàtiques I UPF 2015

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

b. Element (1,1) de la matriu D

Solución: -3

b. Element (1,2) de la matriu D

Solución: 0

b. Element (1,3) de la matriu D

Solución: -3

b. Element (2,1) de la matriu D

Solución: -5

b. Element (2,2) de la matriu D

Solución: 0

b. Element (2,3) de la matriu D

Solución: -5

b. Element (3,1) de la matriu D

Solución: 1

b. Element (3,2) de la matriu D

Solución: 0

b. Element (3,3) de la matriu D

Solución: 1

c. Trobeu tots els vectors x⃗=(x,y,z)\vec{x} = (x, y, z) tals que compleixin Dx⃗T=0⃗D\vec{x}^T = \vec{0}.

Solución: x⃗=(x,y,−x)=α(−1,0,1)+β(0,1,0)\vec{x} = (x, y, -x) = \alpha(-1, 0, 1) + \beta(0, 1, 0) / z=−xz = -x

d. Quina propietat geomètrica han de verificar les columnes de qualsevol matriu B que compleixi aquesta condició?

Solución: ortogonal / perpendicular

d. Trobeu una matriu no nul·la B≠03×3B \neq 0_{3\times 3} tal que el producte ABAB tingui únicament zeros a la seva diagonal principal.

Solución: Per exemple, B=(0131005−12)B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 5 & -1 & 2 \end{pmatrix}

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Pregunta 9 · 2017

Más ejercicios de Matrius: operacions, inversa, matrius ortogonals i potències