Exercici 1 · Matemàtiques I UPF 2015

a. Determineu de forma justificada el domini de definició de la funció f.

Solución: $(-\infty, 0) \cup [1, 2]$

b. Justifiqueu que el valor 2 forma part del recorregut o imatge de la funció.

Solución: La funció $f$ és contínua a $[1, 2]$ amb $f(1) = 1$ i $f(2) = e \approx 2{,}718$. Atès que $2 \in [1, e]$, pel Teorema del Valor Intermedi existeix $c \in [1, 2]$ tal que $f(c) = 2$, provant que $2 \in \mathrm{Rec}(f)$.

c. Proveu que 0 no pertany al recorregut de f.

Solución: Com que $e^{x-1} > 0$ i $\sqrt{\dots} \geq 0$ per a tot $x \in \mathrm{Dom}(f)$, la suma sempre és estrictament positiva ($f(x) > 0$), per tant $0 \notin \mathrm{Rec}(f)$.