Examen de Cálculo en una Variable UPC 2011 · Juny

Problema 1 (1 punt cadascuna). Càlcul d'integrals indefinides

Resoleu les integrals indefinides següents:

a.

$$\int \frac{dx}{(4 - x^2)\sqrt{4 - x^2}}$$

b.

$$\int \frac{x^3 - 3x^2}{x^2 - 4}\, dx$$

Problema 2 (1 punt). Àrea en coordenades polars

Trobeu l'àrea de la regió compresa dins la corba descrita en coordenades polars per l'equació $\rho = a\sqrt{\cos 2\theta}$.

Problema 3 (1 punt). Volum a partir de seccions perpendiculars

Determineu el volum del sòlid que té com a base un cercle de radi $R$, sabent que les seccions planes perpendiculars a l'eix $OX$ són triangles isòsceles l'alçada dels quals fa el doble de la longitud de la seva base respectiva.

Problema 4 (1.5 punts). Suma d'una sèrie numèrica

Calculeu la suma exacta de la sèrie numèrica següent:$$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} + \frac{3\cdot (-1)^n}{n!}\right)$$

Problema 5 (1.5 punts). Caràcter i convergència absoluta d'una sèrie

Analitzeu el caràcter de la següent sèrie numèrica alternada. Determineu raonadament si és convergent i si és absolutament convergent:$$2 - \frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{4}} + \frac{2}{\sqrt{5}} - \dots + \frac{2\cdot(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}} + \dots$$

Problema 6 (2 punts). Sèrie de potències de la funció arctangent

a)

Demostreu el desenvolupament en sèrie de potències següent:$$\operatorname{arctg} x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$

b)

Trobeu el domini de convergència d'aquesta sèrie estudiant minuciosament els seus extrems.

c)

Prenent un valor adequat de la variable $x$, obteniu un desenvolupament en sèrie numèrica del nombre $\pi$.

Problema 7 (2 punts). Sèrie de Fourier i expressió del nombre pi

Una altra forma de trobar una representació en sèrie numèrica per al nombre $\pi$ és mitjançant les sèries de Fourier. Donada la funció periòdica de període $2\pi$:$$f(t) = \begin{cases} -\pi, & -\pi < t < 0 \\ \pi, & 0 < t < \pi \end{cases}$$

a)

Trobeu la sèrie de Fourier corresponent a la funció $f(t)$.

b)

Trieu un valor de $t$ adient per obtenir un desenvolupament numèric de $\pi$. Coincideix aquest amb el resultat assolit en el problema precedent?