Problema 6 · Cálculo en una Variable UPC Juny 2011

Enunciado

Problema 6 (2 punts). Sèrie de potències de la funció arctangent

Demostreu el desenvolupament en sèrie de potències següent: $\operatorname{arctg} x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

Trobeu el domini de convergència d'aquesta sèrie estudiant minuciosament els seus extrems.

Prenent un valor adequat de la variable $x$ , obteniu un desenvolupament en sèrie numèrica del nombre $\pi$ .

Enunciado: Problema 6 · Cálculo en una Variable UPC Juny 2011

Según los criterios oficiales de corrección

a. Demostreu el desenvolupament en sèrie de potències següent: arctg x = sum (-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)

Solución: Integrant terme a terme la sèrie geomètrica de 1/(1+t^2) = sum (-1)^n * t^(2n) entre 0 i x.

Radi de convergència R

Solución: 1

b. Trobeu el domini de convergència d'aquesta sèrie estudiant minuciosament els seus extrems.

Solución: [-1, 1]

Justificació dels extrems

Solución: Tant per a x = 1 com per a x = -1 s'obté una sèrie alternada de terme 1/(2n+1) que convergeix pel criteri de Leibniz.

Valor de x utilitzat per obtenir pi

Solución: 1

c. Prenent un valor adequat de la variable x, obteniu un desenvolupament en sèrie numèrica del nombre pi.

Solución: pi = 4 * sum_{n=0}^infty (-1)^n / (2n+1) = 4 * (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...)

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.