Examen de Cálculo en una Variable UPC 2011 · Recuperació del 2n Semestre (Juliol 2011)

Determineu la derivada de la funció integral següent:

$$F(x) = \int_{0}^{2x} e^{-t^2} dt$$

Problema 2 [2 punts]. Càlcul d'integrals indefinides

Calculeu cadascuna de les següents integrals indefinides:

a.

$$\int \frac{\cos^3 x}{\sin^4 x}\,dx$$

b.

$$\int \frac{1}{x^2 + 2x + 5}\,dx$$

Calculeu el volum del cos de revolució que s'origina en fer girar la corba $f(x) = \ln x$ al voltant de l'eix d'abscisses en l'interval comprès entre $x = 1$ i $x = e$.

Problema 4 [1 punt]. Valor exacte d'una sèrie

Trobeu el valor exacte de la suma de la sèrie següent:

$$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$$

Problema 5 (1 punt). Caràcter d'una sèrie alternada

Determineu el caràcter de convergència de la sèrie numèrica:

$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \left(\frac{2n}{3n+2}\right)^n$$

Problema 6 (1,5 punts). Sèries de potències

a.

Indiqueu a quina funció equival la sèrie geomètrica de potències:

$$\sum_{n=0}^\infty x^n$$

b.

A partir del resultat anterior i derivant successivament, deduïu la funció que representa la sèrie següent:

$$\sum_{n=0}^\infty n^2 x^n$$

c.

Per a quins valors de $x$ són vàlides les igualtats deduïdes? Justifiqueu la resposta.

Problema 7 (1,5 punts). Extensió periòdica i sèrie de Fourier

Considerant la funció $f(t) = \cos t$ definida a l'interval $t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, feu-ne l'extensió periòdica amb període $T = \pi$ i calculeu la seva sèrie de Fourier.

Nota: Recordeu la identitat trigonomètrica $\cos\alpha \cdot \cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$.

a)

b)

c)

d)