Examen de Cálculo en una Variable UPC 2011 · 1r Semestre Recuperación Julio 2011

PROBLEMA 1 (2 puntos). Límites de sucesiones y de funciones

Calcula el valor de los siguientes límites:

a.

$$\lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \frac{3}{n^2} + \cdots + \frac{n-1}{n^2} \right)$$

PROBLEMA 1 (2 puntos). Límites de sucesiones y de funciones

Calcula el valor de los siguientes límites:

b.

$$\lim_{x\to 0} \frac{(1 - \cos x) \cdot \sin\left(\frac{2}{x}\right)}{\sin x}$$

Sea la función real dada por:

$$f(x) = \frac{\ln(\cos x)}{x}$$

a.

Redefine la función $f(x)$ de manera que resulte continua en todo el intervalo $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$.

b.

Analiza la derivabilidad en $x = 0$ de la función continua obtenida. ¿Es derivable en $x = 0$? En caso afirmativo, ¿cuánto vale $f'(0)$?

Sí

No

Considera la función $y = x^2$.

a.

Halla la expresión del cociente incremental $\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

b.

Evalúa dicho cociente $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ en $x = 2$ con un incremento $\Delta x = 0{,}1$.

c.

Determina $y'$ en el punto $x = 2$ y compárala con el valor obtenido en el apartado anterior.

d.

Detalla el significado geométrico de los resultados de los apartados b) y c).

PROBLEMA 4 (2 puntos). Polinomio de Taylor a partir de gráfica

A partir de la gráfica de la función derivada $f'(x)$, en la que se observa que la curva pasa por el punto $(2, 3)$ y que la recta tangente a dicha curva en dicho punto forma un ángulo de $45^\circ$ con el eje de abscisas, y sabiendo además que $f(2) = 5$, calcula el polinomio de Taylor de segundo orden centrado en $a = 2$ para la función $f(x)$.

PROBLEMA 5 (2 puntos). Extremos relativos y forma gráfica

Calcula los máximos y mínimos relativos de la función $y = (x^2 - 4)^{2/3}$ y describe el comportamiento local en torno a ellos. Puedes apoyarte en el siguiente esbozo de la gráfica: