Problema 6 · Cálculo en una Variable UPC 2011

Tema: Sèries de potències i sèries de Fourier · Del examen Examen de Recuperació del 2n Semestre (Juliol 2011) (2011)

Enunciado

Problema 6 (1,5 punts). Sèries de potències

a.

Indiqueu a quina funció equival la sèrie geomètrica de potències:

∑n=0∞xn\sum_{n=0}^\infty x^n

b.

A partir del resultat anterior i derivant successivament, deduïu la funció que representa la sèrie següent:

∑n=0∞n2xn\sum_{n=0}^\infty n^2 x^n

c.

Per a quins valors de xx són vàlides les igualtats deduïdes? Justifiqueu la resposta.

Enunciado: Problema 6 · Cálculo en una Variable UPC 2011

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a. Indiqueu a quina funció equival la sèrie geomètrica de potències ∑n=0∞xn\sum_{n=0}^\infty x^n

Solución: 11−x\frac{1}{1-x}

b. Deduïu la funció que representa la sèrie ∑n=0∞n2xn\sum_{n=0}^\infty n^2 x^n

Solución: x(1+x)(1−x)3\frac{x(1+x)}{(1-x)^3} / x+x2(1−x)3\frac{x+x^2}{(1-x)^3}

c. Per a quins valors de xx són vàlides les igualtats deduïdes?

Solución: (−1,1)(-1, 1) / ∣x∣<1|x| < 1

c. Justifiqueu la resposta de l'interval de validesa

Solución: La derivació no canvia el radi de convergència R = 1, i en els extrems x = 1 i x = -1 la sèrie divergeix ja que el terme general no tendeix a zero.

La explicación paso a paso, hecha con IA, es Premium. Premium

Resuélvelo aquí mismo: corrección automática, pistas y solución paso a paso.

‹ Problema 6 · Juny 2012 · Problema 7 · 2011 ›

Más ejercicios de Sèries de potències i sèries de Fourier