Examen de Matemáticas II UPC 2021 · Juny

Problema 1 (1,5 punts). Àrees circulars i geometria en una rotonda

En el disseny d'una rotonda es planteja cobrir de gespa o enjardinar la superfície ombrejada en gris que s'il·lustra a continuació. Se sap que el radi del cercle menor és $r = 2$.

a.

Determineu el valor del radi $R$ dels cercles de mida intermèdia.

b.

Trobeu l'àrea corresponent a cadascuna de les zones que queden sense enjardinar a l'interior de la rotonda.

Considereu la superfície donada analíticament per l'expressió $z = \ln(x^2 - 4y^2)$.

Preneu com a referència la coberta representada per la gràfica de la funció $z = f(x, y)$ de la imatge:

a)

Feu una representació del domini de definició, dibuixeu la línia de nivell que conté el punt $(8,4)$ i traceu el vector gradient $\nabla f(8,4)$ en aquest mateix punt.

b)

Indiqueu de manera raonada els valors de les derivades parcials $\frac{\partial f}{\partial x}(8,0)$ i $\frac{\partial f}{\partial y}(8,0)$.

Considereu la superfície donada analíticament per l'expressió $z = \ln(x^2 - 4y^2)$.

c. Considereu ara la superfície donada analíticament per l'expressió $z = \ln(x^2 - 4y^2)$. Trobeu el seu domini i la seva imatge (o recorregut), acompanyant el resultat d'un esquema del domini en el pla.

c.1

c.2

c.3

Considereu la superfície donada analíticament per l'expressió $z = \ln(x^2 - 4y^2)$.

d. Determineu en quins punts d'aquesta darrera superfície el pla tangent resulta ser paral·lel al pla d'equació $x + y - 3z = 0$, i doneu l'equació general de cadascun d'aquests plans tangents.

d.1

(,,)

d.2

Calculeu els valors extremals absolutament màxim i mínim que assoleix la funció escalar $$f(x,y) = \sqrt{(x-2)^2 + y^2}$$ sobre el conjunt de punts que formen la circumferència unitària $x^2 + y^2 = 1$.

a)

(,)

b)

c)

(,)

d)

Problema 4 (1,5 punts). Càlcul de volum mitjançant el principi de Cavalieri

Trobeu el volum del sòlid que té per base la regió plana compresa entre la branca dreta de la hipèrbola

$$x^2 - \frac{1}{16}y^2 = 1$$

i la recta vertical $x = 6$, sabent que les seccions d'aquest cos obtingudes en tallar-lo amb plans perpendiculars a l'eix real de la hipèrbola (l'eix $OX$) són triangles equilàters que tenen un dels seus costats recolzat sobre la base.

Problema 5 (1,5 punts). Resolució d'una equació diferencial lineal

Trobeu la solució general de la següent equació diferencial ordinària:

$$y' - 2xy = e^{x^2}\left(1 + x^3\right)^2$$

Problema 6 (2 punts). Integració doble sobre una regió plana

Sigui $D$ la regió continguda en el pla limitada per les corbes d'equació

$$y = e^x, \quad y = (x - 1)^2 \quad \text{i} \quad x = 1$$

a.

Dibuixeu la regió $D$, indicant els punts d'intersecció rellevants.

b.

Calculeu el valor de la integral doble:

$$\iint_D y\,dx\,dy$$