Ejercicio 2 - Derivades parcials, gradient i derivades dire… · Matemáticas II UPC Juny 2021

a) Feu una representació del domini de definició, dibuixeu la línia de nivell que conté el punt (8,4) i traceu el vector gradient ∇f(8,4) en aquest mateix punt.

Solución: El domini és el rectangle $[0, 10] \times [-8, 8]$ al pla $xy$. La línia de nivell pel punt $(8,4)$ és el segment d'equació $y = 4$ (junt amb la seva simètrica $y = -4$). El vector gradient $\nabla f(8,4)$ és perpendicular a la línia de nivell i apunta en sentit negatiu de l'eix $OY$ (cap a l'eix de simetria $y = 0$, on la funció assoleix el màxim).

b) Valor de la derivada parcial ∂f/∂x(8,0)

Solución: 0

b) Valor de la derivada parcial ∂f/∂y(8,0)

Solución: 0

b) Indiqueu de manera raonada els valors de les derivades parcials ∂f/∂x(8,0) i ∂f/∂y(8,0)

Solución: Tallant amb y = 0 la secció és la carena horitzontal (pendent nul), per tant ∂f/∂x(8,0) = 0. Tallant amb x = 8 la secció és una paràbola amb el vèrtex superior a y = 0 (tangent horitzontal), per tant ∂f/∂y(8,0) = 0.