Examen de Estadística y Visualización de Datos UPC 2021 · Recopilació d'exàmens de segon parcial i recuperació (Part 1)

Exercici 1 (Recuperació 1r Semestre 17/6/2021). Xecs sense fons

La probabilitat que una entitat bancària rebi un xec al descobert (sense fons) se situa en 0,01.

a)

Si al llarg d'una hora determinada es tramiten 20 xecs, calculeu la probabilitat de trobar-ne un com a mínim sense fons.

b)

Suposant que l'import mitjà d'aquests xecs descoberts és de 600€, quin valor monetari s'espera no abonar en qualsevol període d'una hora?

c)

Si el banc gestiona una remesa de 1.000 xecs, quina probabilitat hi ha que la quantitat de xecs sense fons estigui compresa entre 6 i 12?

Exercici 2 (Recuperació 1r Semestre 17/6/2021). Sol·licituds universitàries i beques

Una institució universitària tramita 1.000 sol·licituds d'ingrés i n'admet el 10%. Es coneix que el 5% dels admesos té assignada una beca acadèmica, mentre que entre els aspirants no admesos només el 2% gaudeix de dita beca.

a.

Si se selecciona un sol·licitant de manera aleatòria, determineu la probabilitat que hagi estat acceptat i simultàniament disposi de beca.

b.

Prenent un aspirant a l'atzar, quina probabilitat hi ha que NO sigui admès i sí que tingui beca?

c.

Quin és el percentatge o probabilitat global que un sol·licitant triat a l'atzar gaudeixi de beca acadèmica?

Exercici 3 (Recuperació 1r Semestre 17/6/2021). Interval de confiança per a actiu corrent

A partir del registre SABI s'han recopilat dades relatives a l'exercici 2017 de 935 companyies distribuïdores espanyoles. La magnitud perc_Actiu_Corrent recull la fracció (en tant per u) que representa l'actiu corrent respecte del total de l'actiu.

> numSummary(perc_Actiu_Corrent)

mean sd IQR 0% 25% 50% 75% 100% n

0.57883 0.23930 0.39435 0.046033 0.39089 0.58291 0.78525 1 935

Es demana respondre a les següents qüestions:

a.

Examineu si es verifiquen els supòsits necessaris per construir un interval de confiança per a la mitjana de la població de la variable perc_Actiu_Corrent.

b.

Obtingueu l'interval de confiança al 99% d'acord amb la informació subministrada.

c.

Oferiu una interpretació estadística del resultat aconseguit.

Exercici 4 (Recuperació 1r Semestre 17/6/2021). ANOVA d'actiu corrent per tipus d'activitat

Amb el mateix conjunt de 935 empreses de distribució s'analitza el pes de l'actiu corrent ( perc_Actiu_Corrent) segons l'activitat comercial detallada a Codi_activitat: Ali_Beg_Tab (Aliments, Begudes i Tabac), Alt (Altres), Benzin (Benzineres), Equip_Llar (Equipament de la llar), General (General), Lleu_Cult (Lleure i Cultura), TIC i Vest_Cal (Vestit i Calçat).

> numSummary(perc_Actiu_Corrent, groups=Codi_activitat, statistics=c("mean","sd"))

mean sd data:n Ali_Beg_Tab 0.4537758 0.2480796 129 Alt 0.5867148

0.2372498 185 Benzin 0.5042317 0.2758146 45 Equip_Llar 0.7015278 0.2055121

156 General 0.5023710 0.2214281 166 Lleu_Cult 0.6309410 0.1979004 57 TIC

0.6791101 0.2219548 65 Vest_Cal 0.5946920 0.2045843 132 > Anova1 <-

aov(perc_Actiu_Corrent ~ Codi_activitat) > summary(Anova1) Df Sum Sq Mean

Sq F value Pr(>F) Codi_activitat 7 6.44 0.9200 18.13 <2e-16 *** Residuals

927 47.05 0.0508

a)

Determineu la magnitud d'associació pertinent i comenteu-ne el significat.

b)

Quins sectors destaquen per registrar nivells mitjans particularment elevats o reduïts d'actiu corrent?

Exercici 5. Taula de contingència entre solvència i mida d'empresa

A la base de dades de 935 distribuïdores es disposa de la variable binària solvent_a_ct, que val TRUE si l'actiu corrent supera el passiu corrent (empresa solvent a curt termini) i FALSE en cas contrari. Es relaciona amb la dimensió de la societat ( PIME: Sí = petita o mitjana empresa; No = gran corporació).

a)

Quin percentatge de les grans empreses són solvents a curt termini? I quin percentatge correspon a les pimes?

%

%

b)

De la totalitat de companyies solvents a curt termini, quin percentatge són grans empreses?

%

c)

Calculeu i interpreteu l'estadístic V de Cramér.

Exercici 1 (2,5 punts). Contrast d'hipòtesis per al pes mitjà del carbó

Un comerç de venda de sacs de carbó vegetal per a barbacoes fa constar a l'envàs que cada bossa conté un pes nominal de 10 kg. A fi de verificar la veracitat d'aquest anunci, s'extreu per mostreig aleatori simple un lot de 80 paquets, obtenint-se una mitjana mostral de 9,8 kg amb una desviació típica mostral de 0,7 kg.

a)

Formuleu el contrast d'hipòtesis adient per avaluar l'afirmació. [0,25 punts]

b)

Comproveu si es verifiquen els supòsits necessaris per validar la prova. [0,5 punts]

c)

Resoleu el contrast mitjançant l'estadístic de contrast i el valor crític, fixant un risc d'$\alpha = 5\%$. Indiqueu clarament l'estadístic i la distribució de referència. [1 punt]

d)

L'interval de confiança al 95% per al pes mitjà resulta congruent amb la conclusió del contrast? Trobeu l'interval i justifiqueu la resposta. [0,75 punts]

Exercici 2 (2,5 punts). ANOVA i comparació d'edat segons esport

Una enquesta realitzada per l'Associació Nacional de l'Esport a 767 persones pretén esbrinar si hi ha relació entre la pràctica d'una modalitat esportiva determinada i l'edat dels individus ($\\alpha = 5\%$).

> numSummary(edat, groups=Esport, statistics=c("mean","sd")) mean sd

data:n Ciclisme 33.25455 9.300967 165 Aeròbic 36.13253 8.859538 166 Caminar

56.33133 15.951589 166 Natació 40.53160 13.373646 269 > leveneTest(edat, Esport,

center=median) Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median) Df F

value Pr(>F) group 3 26.881 < 2.2e-16 *** 762 > Anova1 <- aov(edat ~ Esport)

> summary(Anova1) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) Esport 3 52764

17588 [ ] <2e-16 *** Residuals 762 117056 154 > oneway.test(edat ~ Esport)

One-way analysis of means (not assuming equal variances) data: edat and Esport F =

92.343, num df = 3.00, denom df = 399.36, p-value < 2.2e-16

a)

Formuleu el contrast d'hipòtesis (nul·la i alternativa). [0,5 punts]

b)

Calculeu directament a mà el valor de l'estadístic F de Fisher. [0,5 punts]

c)

Enuncieu i avalueu el compliment dels requisits d'aplicabilitat. [0,5 punts]

d)

Ateses les conclusions de l'apartat anterior, resoleu el contrast adient amb els resultats facilitats. [0,5 punts]

e)

Quines conclusions es desprenen sobre la relació existent entre edat i esport a escala poblacional? Justifiqueu-ho a partir de la informació més convenient. [0,5 punts]

Exercici 3 (2,5 punts). Model de regressió múltiple per a la satisfacció

A partir d'una mostra de 244 clients del servei de correus (enquesta basada en l'ECSI de 28 ítems puntuats de l'1 al 10), es valoren les següents dimensions:

QUAL1: Qualitat del producte percebuda.

QUAL2: Qualitat del servei percebuda.

VALU: Valor percebut pel client segons el preu.

IMAG: Imatge corporativa associada.

SATI: Satisfacció global del client (variable dependent).

Es disposa del resum estadístic univariant i de diversos gràfics de dispersió:

> numSummary(exercici_ecsi[,c("QUAL1","QUAL2","VALU","SATI","LOYA","IMAG")])

mean sd IQR 0% 25% 50% 75% 100% n

QUAL1 7.954918 1.744091 2.666667 2.666667 6.666667 8.333333 9.333333 10 244

QUAL2 8.452869 1.645805 2.500000 2.000000 7.500000 9.000000 10.000000 10 244

VALU 7.627049 1.782472 2.500000 1.500000 6.500000 8.000000 9.000000 10 244

SATI 7.986339 1.591816 2.333333 2.666667 7.000000 8.333333 9.333333 10 244

LOYA 8.118852 1.838157 3.000000 1.000000 7.000000 8.500000 10.000000 10 244

IMAG 8.226434 1.603176 2.000000 1.500000 7.500000 8.500000 9.500000 10 244

a)

A la llum dels gràfics, indiqueu si cal aplicar alguna transformació logarítmica a les variables i plantegeu l'equació del model poblacional a estimar. [0,5 punts]

b)

Ompliu els buits marcats en negre de la sortida de regressió que s'adjunta tot seguit: [0,5 punts]

> model2a<-lm(SATI~QUAL1+QUAL2+IMAG+VALU)

> summary(model2a)

Call:

lm(formula = SATI ~ QUAL1 + QUAL2 + IMAG + VALU)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-2.61724 -0.46986 0.04876 0.46930 2.61176

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 0.71977 0.27526 2.615 0.00949 **

QUAL1 0.38708 [ Buit 1 ] 7.378 2.64e-12 ***

QUAL2 0.08060 0.05023 1.605 0.10989

IMAG 0.26318 0.05245 5.017 1.02e-06 ***

VALU 0.17583 0.04439 3.961 9.84e-05 ***

---

Signif. codes: 0 '*' 0.001 '' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.7644 on 239 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.7732, Adjusted R-squared: 0.7694

F-statistic: [ Buit 2 ] on [ Buit 3 ] and [ Buit 4 ] DF, p-value: < 2.2e-16

c)

El model resulta conjuntament o globalment significatiu? Indiqueu les hipòtesis i resoleu el contrast mitjançant el p-valor amb un risc del 10%. [0,25 punts]

d)

És la variable QUAL2 estadísticament significativa de forma individual? Formuleu el contrast i resoleu-lo tant pel valor crític com pel p-valor amb un 95% de confiança. [0,5 punts]

e)

Indiqueu el coeficient de bondat d'ajust i oferiu-ne la interpretació. [0,25 punts]

f)

Interpreteu el coeficient associat al predictor QUAL1. [0,5 punts]

Exercici 4. Diagnòstic de multicol·linealitat i comparació de models per a la satisfacció

A partir de la mateixa base de dades es disposa de la matriu de correlacions, dels factors d'inflació de la variància (VIF) de diversos models i de taules ANOVA comparatives entre ells:

> cor(exercici_ecsi[,c("QUAL1","QUAL2","IMAG","VALU")])

QUAL1 QUAL2 IMAG VALU

QUAL1 1.0000000 0.7688930 0.7539064 0.7446870

QUAL2 0.7688930 1.0000000 0.7312599 0.6659197

IMAG 0.7539064 0.7312599 1.0000000 0.7185771

VALU 0.7446870 0.6659197 0.7185771 1.0000000

> vif(model2a)

QUAL1 QUAL2 IMAG VALU

3.482327 2.842371 2.941093 2.603279

# model2b: SATI ~ QUAL1 + IMAG (R2=0.7544, Adj-R2=0.7524)

> vif(model2b)

QUAL1 IMAG

2.316826 2.316826

# model2c: SATI ~ QUAL1 + IMAG + VALU (R2=0.7708, Adj-R2=0.7679)

> vif(model2c)

QUAL1 IMAG VALU

2.886296 2.658293 2.575841

> anova(model2b, model2a)

Model 1: SATI ~ QUAL1 + IMAG

Model 2: SATI ~ QUAL1 + QUAL2 + IMAG + VALU

Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)

1 241 151.20

2 239 139.65 2 11.557 9.89 7.47e-05 ***

> anova(model2c, model2a)

Model 1: SATI ~ QUAL1 + IMAG + VALU

Model 2: SATI ~ QUAL1 + QUAL2 + IMAG + VALU

Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)

1 240 141.15

2 239 139.65 1 1.5045 2.5749 0.1099 a)

Realitzeu el diagnòstic de multicol·linealitat per al model2a emprant totes les eines disponibles. [0,75 punts]

b)

Detecteu algun problema d'especificació en el model2b ? En cas afirmatiu, indiqueu el nom de la fallada i les seves conseqüències estadístiques sobre els estimadors. [0,75 punts]

c)

Determineu, mitjançant els contrastos adients, quin és el millor model d'entre els tres ( model2a, model2b o model2c). Indiqueu les hipòtesis i resoleu mitjançant el p-valor amb una confiança del 95%. [1 punt]

A

model2a

B

model2b

C

model2c

Exercici 1 (2n Parcial 2/6/2021). Proporció d'empreses sancionades en riscos laborals

D'una mostra de 120 empreses escollides mitjançant mostreig aleatori simple a la demarcació de Girona, 33 han rebut sancions per incompliment de la normativa de prevenció de riscos laborals. L'administració competent sosté que la proporció poblacional d'empreses infractores és de 0,15.

a.

Calculeu la proporció mostral d'empreses sancionades. [0,25 punts]

b.

Formuleu les hipòtesis estadístiques convenients per contrastar l'afirmació. [0,25 punts]

c.

Comproveu el compliment dels supòsits necessaris per a la validesa de la inferència. [0,5 punts]

d.

Resoleu el contrast amb un nivell de significació del 5%, detallant l'estadístic calculat i la seva distribució teòrica. [0,75 punts]

e.

És compatible la decisió amb l'interval de confiança al 95% per a la proporció poblacional? Calculeu-lo i comenteu la relació. [0,75 punts]

Exercici 2 (2n Parcial 2/6/2021). Taula de contingència entre esport i sexe

A partir d'una mostra de 766 individus, l'Associació Nacional de l'Esport avalua l'associació entre la pràctica d'una disciplina esportiva i el gènere.

a)

Formuleu el contrast per determinar si hi ha relació entre ambdues variables a la població. [0,25 punts]

b)

Enuncieu i comproveu els supòsits per a la correcta realització del contrast. [0,25 punts]

c)

Resoleu la prova pel procediment del valor crític amb un risc del 5%, indicant l'estadístic i els seus graus de llibertat. [1 punt]

d)

Calculeu la mesura d'associació pertinent i comenteu si la relació és forta. [0,5 punts]

e)

Descriviu quines modalitats esportives estan més associades als homes i quines a les dones d'acord amb la informació de la taula. [0,5 punts]

Exercici 3 (2n Parcial 2/6/2021). Model de regressió múltiple per a la fidelitat i diagnòstic de residus

A partir de la mateixa base de dades sobre serveis postals de l'enquesta ECSI, s'estima un model de regressió per explicar la fidelitat del client ( LOYA) en funció de les variables QUAL1, QUAL2, IMAG, VALU i SATI.

> summary(model1a)

Call:

lm(formula = LOYA ~ QUAL1 + QUAL2 + IMAG + VALU + SATI)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-8.3100 -0.4207 0.1527 0.6585 3.5055

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 0.69176 0.44277 1.562 0.1195

QUAL1 0.17574 0.09220 [ 1.906] 0.0579.

QUAL2 -0.01528 0.08010 -0.191 0.8489

IMAG 0.44023 0.08747 5.033 9.52e-07 ***

VALU -0.01693 0.07267 -0.233 0.8160

SATI 0.33381 0.10259 3.254 0.0013 **

---

Signif. codes: 0 '*' 0.001 '' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 1.212 on 238 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.5739, Adjusted R-squared: [ 0.565 ]

F-statistic: 64.12 on 5 and 238 DF, p-value: < 2.2e-16

a)

Formuleu l'equació del model que s'ha estimat. [0,25 punts]

b)

Efectueu el diagnòstic dels residus del model comentant cadascun dels supòsits a partir dels següents gràfics: [0,75 punts]

c)

És el model conjuntament significatiu? Formuleu les hipòtesis i resoleu mitjançant el p-valor al nivell de significació de l'1%. [0,25 punts]

d)

Resulta estadísticament significativa la variable QUAL1? Plantegeu el contrast i resoleu-lo amb una confiança del 90% pel procediment del valor crític. [0,5 punts]

e)

Calculeu i interpreteu el coeficient de determinació ajustat $\bar{R}^2$. [0,25 punts]

f)

Determineu l'interval de confiança al 95% per al coeficient de SATI i interpreteu-lo. [0,5 punts]

[

,

]

Exercici 4 (2n Parcial 2/6/2021). Multicol·linealitat i contrast de models aniuats per a la fidelitat

Continuant amb l'estudi de la fidelitat del client (LOYA), es presenten la matriu de correlacions, els models estimats i la comparació ANOVA entre ells:

> cor(exercici_ecsi[,c("QUAL1","QUAL2","IMAG","VALU","SATI")])

QUAL1 QUAL2 IMAG VALU SATI

QUAL1 1.0000000 0.7688930 0.7539064 0.7446870 0.8346330

QUAL2 0.7688930 1.0000000 0.7312599 0.6659197 0.7343667

IMAG 0.7539064 0.7312599 1.0000000 0.7185771 0.7872128

VALU 0.7446870 0.6659197 0.7185771 1.0000000 0.7586731

SATI 0.8346330 0.7343667 0.7872128 0.7586731 1.0000000

> vif(model1a)

QUAL1 QUAL2 IMAG VALU SATI

4.275423 2.872994 3.250857 2.774197 4.409231

# model1b: LOYA ~ QUAL1 + IMAG + SATI (R2 = 0.5738, Adj-R2 = 0.5684)

> vif(model1b)

QUAL1 IMAG SATI

3.587941 2.862342 4.072209

a)

Realitzeu el diagnòstic complet de multicol·linealitat per al model1a amb totes les dades disponibles. [0,75 punts]

b)

Detecteu algun defecte d'especificació al model1a ? En cas afirmatiu, quina mesura s'hauria de prendre i quines conseqüències tenen les variables redundants sobre els coeficients? [0,75 punts]

c)

Al model1b s'han exclòs algunes variables. Decidiu, mitjançant el contrast pertinent, si és preferible el model1a o el model1b. Formuleu les hipòtesis, determineu l'estadístic i resoleu pel procediment del valor crític al 95% de confiança. [1 punt]

model1a

model1b

14. Activitat prèvia (continuació pàgina 25). Contrast de restriccions lineals

(Continuació de la comparació de models de la pàgina precedent)

A partir dels coeficients de determinació del model complet ($R^2 = 0{,}5739$) amb $k = 6$ paràmetres i $n - k = 238$ graus de llibertat, i del model restringit ($R^{*2} = 0{,}5738$) sotmès a $q = 2$ restriccions, contrasteu si les restriccions imposades són conjuntament vàlides amb una confiança del 95%.

Pregunta 1. Rendiment relatiu de processadors (CPU)

Es disposa d'una mostra de 209 processadors (CPU) de l'estudi d'Ein-Dor i Feldmesser (1987) amb les següents variables:

RELRENDI: rendiment relatiu respecte a una CPU IBM 370/158-3.

CICLOTIM: temps de cicle (en nanosegons / cicles per segon).

MINMEM: capacitat mínima de memòria en kB.

MAXMEM: capacitat màxima de memòria en kB.

CACHE: memòria cau en kB.

Es fa una anàlisi exploratòria prèvia de les dades amb els resums numèrics i diagrames de dispersió següents:

Posteriorment, s'estima un model inicial en nivells (MODEL 1) i s'obtenen els gràfics de diagnòstic de residus:

Tot seguit, s'estima un model alternatiu amb transformacions logarítmiques (MODEL 2):

Respon les següents qüestions:

a)

A partir de l'exploració prèvia, argumenteu si és adient aplicar la transformació logarítmica a les variables i especifiqueu el model de regressió proposat.

b)

Efectueu una diagnosi dels supòsits del MODEL 1 (linealitat, homoscedasticitat, normalitat i valors atípics), indicant el gràfic utilitzat en cada cas i les possibles solucions.

c)

Completeu els espais enfosquits de la sortida del MODEL 2:

d)

Indiqueu el coeficient de bondat de l'ajust del MODEL 2 i interpreteu-lo.

e)

Contrasteu la significació global i individual dels coeficients assumint un risc del 5%, detallant les hipòtesis nul·les.

f)

Interpreteu els efectes de les variables MINMEM i CACHE sobre el rendiment relatiu emprant els intervals de confiança estimats.

Pregunta 2. Model de regressió de cotxes per càpita

A partir d'una base de dades de 24 països s'analitzen les variables:

cotxes: nombre de vehicles per càpita.

pob: població en milions de persones.

den: densitat poblacional.

ingressos: renda en milions de dòlars dels EUA.

gasol: cost del combustible en centaus de dòlar per litre.

consum: tones de benzina consumides anualment per cotxe.

Es mostren les sortides d'estimació del model complet (model_1), la matriu de correlacions, els valors de tolerància (1/VIF) i un model reduït (model_2):

a.

Realitzeu una avaluació de la multicol·linealitat en el model_1.

b.

Indiqueu si detecteu algun problema d'especificació al model_1 i exposeu quines conseqüències té sobre els estimadors.

c.

En el model_2 s'han exclòs les variables no significatives al 5%. Efectueu el contrast formal per determinar quin dels dos models és preferible.

d.

A partir del model_2, pronostiqueu de manera puntual i per interval el nombre de cotxes per càpita d'un estat amb 9,8 milions de dòlars d'ingressos i un preu del combustible de 4,4 centaus/litre.

Pregunta 3. Anàlisi de subscripcions aparellades de revistes

Una empresa comercialitzadora de premsa desitja avaluar si el percentatge d'abonats a la revista A és superior al de la revista B. A partir d'una mostra aleatòria simple de 670 usuaris, es constata que 139 estan subscrits a la revista A, 112 a la revista B, 98 reben ambdues publicacions i 517 cap d'elles.

a)

Elaboreu la corresponent taula de contingència bivariant:

Subscriptor revista A

Subscriptor revista B

Total

NO

SÍ

NO

SÍ

Total

b)

Formuleu les hipòtesis estadístiques adients:

c)

Verifiqueu les condicions requerides per aplicar el test:

d)

Resoleu el contrast utilitzant el p-valor amb un nivell de significació de l'1% i interpreteu el resultat obtingut:

Pregunta 4. Despesa en alcohol per regió a Bèlgica

A partir d'una enquesta representativa duta a terme a Bèlgica s'estudia la proporció de despesa en alcohol ( salcohol) respecte al pressupost familiar segons la regió de residència ( brussels, flanders o walloon).

Es disposa dels següents càlculs numèrics, contrast de Levene, taula ANOVA i test robust de Welch:

> numSummary(salcohol, groups=region, statistics=c("mean", "sd"))

mean sd data:n

brussels 0.03124827 0.02340910 157

flanders 0.01818686 0.01498091 401

walloon 0.03023046 0.02237954 388

> leveneTest(salcohol, region, center=median)

Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)

Df F value Pr(>F)

group 2 31.326 6.733e-14 ***

943

> summary(Anova1)

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)

region 2 0.03530 0.017638 45.06 < 2e-16 ***

Residuals 943 0.36910 0.000391

> oneway.test(salcohol ~ region)

One-way analysis of means (not assuming equal variances)

data: salcohol and region

F = 50.535, num df = 2.00, denom df = 386.37, p-value < 2.2e-16

a)

Comproveu si es compleixen les condicions prèvies per a la interpretació de la relació entre ambdues variables (absència d'atípics).

b)

Quantifiqueu la força de l'associació mostral a través del coeficient oportú.

c)

Formuleu el contrast d'hipòtesis adient a escala poblacional i determineu els estadístics aplicables.

d)

Resoleu el contrast justificant l'ús de l'estadístic que correspongui ($\alpha = 0{,}05$).

e)

Deduïu la conclusió substantiva sobre la relació poblacional utilitzant les eines gràfiques i numèriques.

Exercici 1 (2,75 punts). Model del mercat financer canadenc

A partir de dades mensuals del mercat canadenc entre setembre de 1977 i desembre de 1980 s'estudia la variable BANKCAN (actius de la banca del Canadà) explicada per:

TRSBILL: tipus d'interès dels bons del Tresor a 90 dies.

IPC: índex de preus al consum.

USSPOT: tipus de canvi spot Canadà/EUA.

USFORW: tipus de canvi a termini a 1 mes Canadà/EUA.

Es disposa dels resultats següents:

> model_1 <- lm(BANKCAN ~ TRSBILL + IPC + USSPOT + USFORW)

> summary(model_1)

Call:

lm(formula = BANKCAN ~ TRSBILL + IPC + USSPOT + USFORW)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-914.29 -340.93 -53.81 199.78 1806.79

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) -6.515e+03 1.637e+03 -3.980 0.000204 ***

TRSBILL -9.184e-02 4.875e+01 -0.002 0.998504

IPC 1.698e+02 1.846e+01 9.198 1.02e-12 ***

USSPOT 1.904e+04 5.045e+04 0.377 0.707264

USFORW -1.227e+04 5.126e+04 -0.239 0.811736

---

Signif. codes: 0 '*' 0.001 '' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 524.5 on 55 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.9446, Adjusted R-squared: 0.9405

F-statistic: 234.2 on 4 and 55 DF, p-value: < 2.2e-16

> vif(model)

TRSBILL IPC USSPOT USFORW

2.709304 6.614815 3052.494346 3024.844222

> cor(Problema_5_11[, c("TRSBILL", "IPC", "USSPOT", "USFORW")])

TRSBILL IPC USSPOT USFORW

TRSBILL 1.00000000 0.7656147 0.6040594 0.5990826

IPC 0.76561470 1.0000000 0.8708640 0.8690079

USSPOT 0.60405940 0.8708640 1.0000000 0.9998160

USFORW 0.59908260 0.8690079 0.9998160 1.0000000

> summary(model_2)

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) -6774.398 1216.349 -5.569 7.54e-07 ***

TRSBILL 3.031 46.576 0.065 0.948353

IPC 169.703 18.300 9.274 6.53e-13 ***

USSPOT 6977.740 1879.202 3.713 0.000473 ***

Multiple R-squared: 0.9445, Adjusted R-squared: 0.9415

> 1/vif(model_2)

TRSBILL IPC USSPOT

0.3975688 0.1512346 0.2321001

> summary(model_3)

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) -2653.751 590.956 -4.491 3.43e-05 ***

IPC 218.031 7.832 27.837 < 2e-16 ***

Multiple R-squared: 0.9304, Adjusted R-squared: 0.9292

> anova(model_2, model_3)

Analysis of Variance Table

Model 1: BANKCAN ~ TRSBILL + IPC + USSPOT

Model 2: BANKCAN ~ IPC

Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)

1 56 15143951

2 58 18999217 -2 -3855266 7.1281 0.001746 **

a)

Efectueu la diagnosi de multicol·linealitat del model_1 i exposeu una solució.

b)

Quines conseqüències produeix la multicol·linealitat sobre les propietats dels estimadors?

c)

Comproveu si al model_2 s'ha solucionat el problema de multicol·linealitat.

d)

Contrasteu quin dels dos models, model_2 o model_3, és estadísticament superior ($\alpha = 0{,}05$).

Exercici 2 (2,75 punts). Model reduït d'actius bancaris

Continuant amb les mateixes dades, es decideix analitzar el model de regressió lineal model_4:

a)

Calculeu i interpreteu el coeficient de determinació ajustat ($\bar{R}^2$).

b)

Interpreteu l'efecte de les variables explicatives sobre BANKCAN mitjançant els intervals de confiança dels coeficients al 95%.

[

,

]

[

,

]

c)

Feu una predicció puntual i una estimació per interval per al nivell d'actius del banc central quan $\mathrm{IPC} = 66,7$ i el tipus de canvi se situa en $\mathrm{USSPOT} = 1,0523$.

[

,

]

Exercici 3 (1,75 punts). Comparació de tarifes de reparació

Una asseguradora sospita que el taller de reparacions A (gA) aplica preus excessius. Per comprovar-ho, sol·licita pressupostos a aquest taller i a un taller competidor B (gB) per a la reparació dels mateixos vehicles. Es presenten els resultats dels contrastos i diagrames de caixa (assumiu normalitat quan calgui):

a.

Formuleu la hipòtesi nul·la del contrast adient.

b.

Comproveu els requisits d'aplicació del test indicant quines taules o figures utilitzeu.

c.

Resoleu el contrast pel mètode del valor crític i indiqueu a quina conclusió arriba la companyia.

d.

Arribaria la companyia a la mateixa conclusió a partir de l'interval de confiança pertinent? Raoneu-ho.

Exercici 4 (2,75 punts). Relació entre estatus laboral i subscripció

Una distribuïdora de revistes analitza si l'estatus laboral dels seus clients condiciona el fet d'estar o no subscrit a una publicació concreta. S'obtenen dues taules de contingència:

a)

Argumenteu quina de les dues taules compleix els requisits d'aplicació per estudiar l'associació entre les variables.

b)

Mesureu la intensitat de la relació mitjançant el coeficient adequat i interpreteu-lo segons l'opció triada a l'apartat anterior.

c)

Plantegeu i resoleu el contrast d'independència poblacional amb un risc del 5%.

d)

Quins col·lectius laborals mostren una major propensió a subscriure's? Justifiqueu la resposta amb els valors de la taula.