Problema 15 · Estadística y Visualización de Datos UPC 2021

a. A partir de l'exploració prèvia, argumenteu si és adient aplicar la transformació logarítmica a les variables i especifiqueu el model de regressió proposat.

Solución: A les gràfiques de dispersió s'aprecia una forta asimetria positiva: la variable depenent RELRENDI presenta una gran concentració en valors baixos i dispersió creixent cap a valors alts, comportament compartit per la major part de predictores. Aquesta pauta aconsella l'ús de logaritmes per linearitzar les relacions i estabilitzar la variància. No obstant això, cal anar amb compte amb la variable CACHE, ja que el seu valor mínim és 0 (el logaritme no estaria definit sense sumar-hi una constant). Així, el model formulat és: $$\log(\text{RELRENDI})_i = \beta_1 + \beta_2\log(\text{CICLOTIM})_i + \beta_3\log(\text{MINMEM})_i + \beta_4\log(\text{MAXMEM})_i + \beta_5\text{CACHE}_i + u_i$$

b. Efectueu una diagnosi dels supòsits del MODEL 1 (linealitat, homoscedasticitat, normalitat i valors atípics), indicant el gràfic utilitzat en cada cas i les possibles solucions.

Solución: - Linealitat ($E(u) = 0$): S'analitzen els gràfics de residus estudentitzats enfront de cadascuna de les variables explicatives. Els residus es distribueixen al voltant del zero sense patrons curvilinis marcats, tot i que s'observen punts força allunyats i heterogeneïtat de dispersió. - Homoscedasticitat: Mitjançant el gràfic de residus estudentitzats enfront dels valors ajustats (fitted), s'observa un clar patró d'embut on la dispersió augmenta per a prediccions més altes. Això denota heteroscedasticitat, que es pot corregir transformant logarítmicament les variables. - Normalitat: Al gràfic Normal Q-Q Plot, els residus s'ajusten raonablement a la bisectriu en el tram central, amb lleugera desviació a les cues. En qualsevol cas, atesa la mida mostral prou gran ($n = 209$), el Teorema Central del Límit garanteix l'aplicabilitat de la inferència asimptòtica. - Valors atípics / influents: Al gràfic de distàncies de Cook, es detecten algunes observacions clarament superiors a la resta (per sobre d'1 o 2), amb gran influència sobre l'estimació. Convindria analitzar-les o reestimar el model sense elles.

c. Completeu els espais enfosquits de la sortida del MODEL 2 (valor del test t per a log(MINMEM)).

Solución: 3,938

c. Graus de llibertat del numerador de l'estadístic F global.

Solución: 4

c. Graus de llibertat del denominador de l'estadístic F global.

Solución: 204

c. Estadístic F global.

Solución: 229,53

d. Indiqueu el coeficient de bondat de l'ajust del MODEL 2 i interpreteu-lo.

Solución: El coeficient de determinació ajustat és $R^2 = 0{,}8182$ (i $\bar{R}^2 = 0{,}8147$). Això indica que un 81,47% de la variabilitat del rendiment relatiu queda explicada conjuntament pel conjunt de variables regressores del model.

e. Contrasteu la significació global i individual dels coeficients assumint un risc del 5%, detallant les hipòtesis nul·les.

Solución: - Significació global: $H_0: \beta_2 = \beta_3 = \beta_4 = \beta_5 = 0$. El p-valor associat a l'estadístic $F$ és $< 2{,}2\times 10^{-16} < 0{,}05$. Es rebutja $H_0$; el model és globalment significatiu al 5%. - Significació individual: Per a cada coeficient, $H_0: \beta_j = 0$ ($j = 2, \dots, 5$). Tots els p-valors dels regressors són menors de 0,05 ($p = 0{,}0044$ per a CICLOTIM; $p = 0{,}000113$ per a MINMEM; i $p < 10^{-15}$ per a MAXMEM i CACHE). Per tant, totes les variables són estadísticament significatives de manera individual.

f. Interpreteu els efectes de les variables MINMEM i CACHE sobre el rendiment relatiu emprant els intervals de confiança estimats.

Solución: - MINMEM (model log-log, elasticitat): Com que l'interval de confiança al 95% per al coeficient és $[0{,}0957; 0{,}2876]$, mantenint constants les altres variables, per cada increment d'un 1% en la memòria mínima, s'espera que el rendiment relatiu augmenti entre un 0,0957% i un 0,2876%. - CACHE (model log-lin, semielasticitat): L'IC per al seu coeficient és $[0{,}007503; 0{,}011082]$. Com que la depenent està en logaritme, l'efecte percentual exacte és $(e^\beta - 1)\times 100$. En augmentar la cau en 1 kB, el rendiment augmenta entre $(e^{0{,}007503} - 1)\times 100 = 0{,}7532\%$ i $(e^{0{,}011082} - 1)\times 100 = 1{,}114\%$.