Examen de Matemàtiques Ii UAB 2020 · primera prova d'avaluació novembre 2020

Exercici 1 [2 punts]. Equacions de superfícies i còniques

Respon als següents apartats:

a.

Escriu l'equació canònica o reduïda que descriu una el·lipse que té com a semieixos $a = 3$ i $b = 5$.

b.

Planteja l'equació explícita canònica d'un paraboloide hiperbòlic general.

Exercici 2 [2 punts]. Funció implícita i tipus de funció

A partir de la relació funcional expressada en forma implícita:

$$x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 4y - 2z - 11 = 0$$

aïlla la variable dependent per expressar-la en forma explícita $z = f(x, y)$ i justifica si es tracta d'una funció uniforme o multiforme.

1.

2.

3.

Exercici 3 [2 punts]. Domini, característiques topològiques i recorregut

Considera la funció de dues variables definida per:

$$z = f(x, y) = \pm \sqrt{36 - (x - 2)^2 - y^2}$$

Calcula el seu domini de definició, fes-ne la representació en el pla cartesià, raona les propietats topològiques que presenta i determina de manera justificada el seu recorregut (o conjunt imatge).

1.

2.

3.

4.

Troba i identifica el tipus de corba que correspon a cadascuna de les corbes de nivell de les funcions següents a l'alçada especificada, descrivint com es representarien gràficament:

a)

La corba de nivell per a la funció $z = x^2 + 4y^2$ a la cota $z = 16$.

b)

La corba de nivell de la funció $z = x^2 - 4x + y^2 - 6y$ a la cota $z = 3$.

Exercici 5 (2 punts). Derivades parcials d'una funció

Donada la funció de dues variables:

$$z = (x^2 + 2x + 3y + 4) \cdot e^{2xy}$$

calcula les seves derivades parcials de primer ordre i avalua el seu valor concret en el punt $P(1,0)$.

1.

2.

3.

4.