Examen de Matemàtiques Ii UAB 2020 · : 1a Prova de seguiment (Novembre 2020)

Exercici 1 [2 punts]. Classificació de funcions i anàlisi d'un el·lipsoide

a. Considereu les dues funcions que s'indiquen a continuació:

$$y = f(x) = \ln(4x^2 - 5x + 6) + \sqrt{x - 2}$$

$$g(x, y) = (u, v) = (x + 2y, y - 2x)$$

Per a cadascuna d'elles, determineu:

El nombre de variables independents i el nombre de variables dependents (components de la imatge).

El tipus de funció segons la classificació esquemàtica ateses les seves variables.

El nom de la representació gràfica que li correspon (no cal dibuixar-la).

Funció $y = f(x)$

Funció $g(x, y) = (u, v)$

b. Determineu l'equació canònica de l'el·lipsoide que té centre en el punt $C(4, -2, 3)$ i semieixos de longitud $a = 1$, $b = 5$ i $c = \sqrt{2}$. Després, aïlleu la variable $z$ per escriure la funció en forma explícita i justifiqueu si és uniforme o multiforme.

Exercici 2 (4 punts). Domini, característiques topològiques i recorregut de funcions de dues variables

Tingueu en compte les següents funcions reals de dues variables independents:

$$z = f(x, y) = 3 - \sqrt{16 - (x - 3)^2 - (y + 1)^2}$$

$$z = g(x, y) = \log(16 - x^2 + 4y^2)$$

Per a cadascuna d'aquestes funcions:

a)

Troba el domini analíticament i descriu la seva frontera.

b)

Indica les característiques topològiques del domini (obert/tancat, fitat/no fitat, compacte/no compacte, convex/no convex).

c)

Fent servir els càlculs que calgui, determina el recorregut (imatge) de la funció.

Exercici 3 (2 punts). Corba de nivell d'una funció de dues variables

Es considera la funció de dues variables independents:

$$z = f(x, y) = +\sqrt{8 - x^2 - 4y^2 + 2x + 8y}$$

Calculeu l'equació de la corba de nivell que correspon a la cota $z = 3$, determineu de quina corba cònica es tracta i descriviu els seus elements geomètrics fonamentals.

$x_0 =$

$y_0 =$

$a =$

$b =$

Exercici 4 (2 punts). Càlcul i avaluació de derivades parcials primeres

Trobeu les expressions simplificades de les derivades parcials primeres respecte de $x$ i de $y$ per a cadascuna de les funcions següents i, a continuació, calculeu el seu valor numèric en el punt que s'indica:

a)

$f(x, y) = \ln(2x - y) - \cos(2xy - 2) + 3y^2 - x^3$ en el punt $P(1, 1)$.

b)

$g(x, y) = e^{xy^2} \cdot (5x^2 - y)$ en el punt $Q(2, 1)$.