Examen de Matemàtiques Ii UAB 2020 · 1a Prova d'avaluació Novembre 2020

Exercici 1 (2 punts). Equacions de quàdriques i còniques

a)

Escriviu l'equació canònica o reduïda d'una hipèrbola centrada a l'origen que talla l'eix d'abscisses en els punts $(3,0)$ i $(-3,0)$, sabent que el paràmetre $b = 5$.

b)

Proporcioneu l'expressió explícita reduïda genèrica d'un paraboloide el·líptic.

Exercici 2 (2 punts). Funció implícita i uniformitat

Considereu la relació expressada en forma implícita:

$$xyz^2 + 4x^2y^2 - 8 = 0$$

Aïlleu la variable dependent $z$ per escriure-la en forma explícita i justifiqueu si es tracta d'una funció uniforme o multiforme.

Uniforme

Multiforme

Exercici 3 (2 punts). Domini, propietats i recorregut

Per a la funció de dues variables definida com:

$$z = f(x,y) = \frac{12}{\pm\sqrt{36 - x^2 - y^2}}$$

Calculeu el seu domini de definició, feu-ne la representació geomètrica i deduïu raonadament les seves propietats topològiques. Determineu també el seu recorregut de forma justificada.

Exercici 4 (2 punts). Corbes de nivell

Trobeu les corbes de nivell de les següents funcions escalars per a les alçades indicades. Especifiqueu la naturalesa geomètrica de la corba obtinguda i descriviu com es representa:

a.

$z = x^2 + 4y^2$ a la cota $z = 8$.

b.

$z = x^2 - 4x + y^2 - 6y + 1$ a la cota $z = 4$.

Exercici 5 (2 punts). Càlcul de derivades parcials

Dada la funció:

$$z = \frac{x^2 + 2y^2 + 1}{3x^2 - y^2}$$

Calculeu les expressions de les dues derivades parcials de primer ordre i avalueu el seu valor concret en el punt $P(1, 1)$.

1.

Derivada parcial respecte a $x$:

2.

Derivada parcial respecte a $y$: