Examen de Matemàtiques Ii UAB 2020 · : 2a Prova de seguiment de (Desembre 2020)

Exercici 1 [3 punts]

a. Trobeu la matriu jacobiana $J$ corresponent a l'aplicació vectorial $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ definida per:

$$f(x, y) = (\ln(x) \cdot \cos(y), \ln(x^3) \cdot \sin(y))$$

A continuació, calculeu el valor del determinant jacobià $|J|$, simplificant el resultat al màxim (tingueu present que $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$).

a)

b. Es considera la funció escalar de dues variables independents:

$$z = f(x, y) = a(x - y)^2 + bxy$$

Determineu els paràmetres positius $a$ i $b$ sabent que la segona derivada parcial creuada s'anul·la ($\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0$) i que el determinant de la matriu hessiana és igual a 36 ($|H| = 36$).

b)

Exercici 2 [2 punts]

Analitzeu si la següent funció és creixent o decreixent en el punt $P(2, -1)$ per a cadascuna de les direccions proposades, trobant prèviament el valor de la derivada direccional:

$$z = f(x, y) = 9 \cdot \frac{x - y^2}{x + y^2} + 3\sqrt{5x + y}$$

a)

En el punt $P(2, -1)$ seguint la direcció indicada pel vector $\vec{v} = \vec{PQ}$, essent $Q(-2, -4)$:

Creixent

Decreixent

b)

En el punt $P(2, -1)$ en una direcció que forma un angle de $\alpha = 10^\circ$ respecte de l'eix positiu d'abscisses $X$:

Creixent

Decreixent

Exercici 3 (2,5 punts). Diferencial de primer ordre, increment i càlcul d'errors

Sigui la funció de dues variables independents:

$$z = f(x, y) = e^{3xy} + y^2e^{-2x} + 2x - 2y$$

a)

Determineu el valor de la diferencial de primer ordre $\mathrm{d}z$ al punt $P(0, 0{,}5)$ considerant increments de les variables $\mathrm{d}x = 0{,}2$ i $\mathrm{d}y = -0{,}1$.

b)

Calculeu la variació real $\Delta z$ de la funció en passar del punt $P$ al punt desplaçat per aquests increments. Trobeu també l'error absolut i l'error relatiu comesos en aproximar $\Delta z$ mitjançant $\mathrm{d}z$.

Exercici 4 (2,5 punts). Matriu hessiana i diferencial de segon ordre

Es considera la funció escalar de tres variables independents:

$$u = f(x, y, z) = \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \ln(x^2 z)$$

a)

Escriviu la matriu hessiana $H$ de la funció avaluada al punt $P(3, -1, 2)$.

b)

Calculeu la diferencial de segon ordre $\mathrm{d}^2u$ en aquest mateix punt $P$ per a uns valors dels diferencials de les variables independents $\mathrm{d}x = 0{,}6$, $\mathrm{d}y = 0{,}4$ i $\mathrm{d}z = -0{,}3$.