Examen de Matemàtiques Ii UAB 2020 · seguiment (Segona prova) - Desembre 2020

Exercici 1 [3 punts]. Matriu jacobiana i determinació de paràmetres

a.

Determineu la matriu jacobiana $J$ associada a la següent funció vectorial $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$:

$$f(x, y) = (e^{xy}\sin(y), e^{xy}\cos(y))$$

Posteriorment, calculeu el seu determinant jacobià $|J|$, simplificant al màxim el resultat (recordeu que $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$).

b.

Es considera la funció real de dues variables independents:

$$z = f(x, y) = ax^3 + by^2 + 5cx - 6xy$$

Trobeu els valors dels coeficients $a$, $b$ i $c$ de manera que, en el punt $P(1, 1)$, la matriu jacobiana correspongui a $J|_P = (-15, 2)$ i el determinant de la seva matriu hessiana sigui $|H|_P = 60$.

Exercici 2 (2 punts). Estudi del creixement i derivada direccional

Donada la funció de dues variables:

$$z = f(x, y) = 2\sqrt{8x - 3y} + \frac{x - 2y}{x + 2y}$$

Analitzeu si $f$ és creixent o decreixent en el punt $P(9, -3)$ en les següents direccions, calculant en cada cas la seva derivada direccional:

a.

En la direcció definida pel vector $\vec{v} = \vec{PQ}$, essent $Q(10, -4)$.

Creixent

Decreixent

b.

En la direcció que forma un angle de $\alpha = 60^\circ$ respecte a la part positiva de l'eix $X$.

Creixent

Decreixent

Es considera la funció de tres variables independents:

$$u = f(x, y, z) = \ln\left(\frac{x^2 - y^2}{z}\right)$$

a.

Calculeu el valor de la diferencial de primer ordre $du$ en el punt $P(3, 2, 1)$ prenent com a increments de les variables independents els valors $dx = 0{,}2$, $dy = 0{,}3$ i $dz = -0{,}1$.

b.

Calculeu la variació real $\Delta u$ que experimenta la funció en passar del punt $P$ al punt incrementat. A continuació, determineu l'error absolut i l'error relatiu comesos quan s'utilitza $du$ com a estimació de l'increment real $\Delta u$.

Sigui la funció de tres variables:

$$u = f(x, y, z) = 3y^2 z + \frac{z e^{-2x}}{y}$$

a.

Determineu la matriu hessiana $H$ avaluada en el punt $P(0, -1, 3)$. Relleneu els elements de la matriu hessiana simètrica de $3\times 3$:

b.

Calculeu la diferencial de segon ordre $d^2u$ de la funció en el mateix punt $P$ per als valors dels diferencials de les variables independents $dx = -0{,}5$, $dy = 0{,}4$ i $dz = -0{,}3$.