Examen de Matemàtiques Ii UAB 2020 · seguiment (Novembre 2020)

Exercici 1 (2 punts). Classificació de funcions i anàlisi d'una superfície

a.

Per a cadascuna de les dues relacions funcionals que es presenten seguidament:

$$z = f(x,y) = 8x^2y^2 + 2xy^2 - 5y \qquad g(t) = (u,v) = (5\sin(t), 1 + 3\sqrt{t})$$

Indiqueu:

El nombre de variables independents i dependents (components de la imatge).

La classificació esquemàtica de la funció segons aquestes variables.

El nom de la representació gràfica que li correspon (no cal dibuixar-la).

Funció $z = f(x,y) = 8x^2y^2 + 2xy^2 - 5y$:

Funció $g(t) = (u,v) = (5\sin(t), 1 + 3\sqrt{t})$:

b.

Considereu la superfície descrita de manera implícita per l'equació:

$$x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 8y - 4z - 7 = 0$$

Justifiqueu primer si està en forma explícita o implícita. Tot seguit, reescriviu l'expressió completant quadrats fins a obtenir la seva equació canònica i deduïu de quin tipus de quàdrica es tracta, indicant els seus elements geomètrics fonamentals. Finalment, aïlleu la variable $z$ i raoneu si defineix una funció uniforme o multiforme.

Exercici 2 (4 punts). Dominis i recorreguts de funcions de dues variables

Considereu les dues funcions de dues variables independents següents:

$$z = f(x, y) = 3 - \sqrt{64 - x^2 - 4y^2} \qquad z = g(x, y) = \log(4x^2 - y^2 - 4)$$

Per a cadascuna d'elles:

Determineu el seu domini de definició de manera analítica.

Indiqueu les característiques topològiques del domini (si és obert/tancat, fitat/no fitat, connex, etc.) i descriviu la seva representació gràfica sobre el pla $xy$.

Calculeu raonadament el seu recorregut (o conjunt imatge).

Funció $f(x, y) = 3 - \sqrt{64 - x^2 - 4y^2}$

Funció $g(x, y) = \log(4x^2 - y^2 - 4)$

Exercici 3 (2 punts). Corba de nivell d'una funció escalar

Donada la funció de dues variables independents:

$$z = f(x, y) = 4 + \sqrt{12 - x^2 - y^2 + 6x + 4y}$$

Calculeu l'equació de la corba de nivell corresponent a l'alçada $z = 1$. Especifiqueu raonadament de quina corba es tracta i representeu-la gràficament.

Exercici 4 (2 punts). Càlcul i avaluació de derivades parcials primeres

Per a cadascuna de les funcions següents, deduïu les expressions simplificades de les seves derivades parcials de primer ordre respecte de $x$ i de $y$, i tot seguit avalueu-les en el punt que s'indica:

a)

Funció $f(x, y) = \sin(5xy) - e^{2x^2 y} + 4x^2 - 8y$ al punt $P(0, 1)$.

b)

Funció $g(x, y) = \sqrt{2x^2 + 3y^2 - 6xy}$ al punt $Q(1, 2)$.