Examen de Matemàtiques Ii UAB 2020 · : 1a Prova d'avaluació de (Novembre 2020)

Exercici 1 (2 punts). Hipèrbola i hiperboloide

Responeu als apartats següents:

a.

Escriviu l'equació canònica o reduïda d'una hipèrbola sabent que interseca l'eix $Y$ en els punts $(0, 5)$ i $(0, -5)$, i que té paràmetre $a = 3$.

b.

Formuleu l'equació implícita reduïda genèrica corresponent a un hiperboloide d'un full.

Exercici 2 (2 punts). Forma explícita i caràcter uniforme o multiforme

Es considera la funció definida de manera implícita per la relació:

$$(x - 2)^2 + y^2 + (z - 3)^2 = 9$$

Expresseu-la en forma explícita per a la variable $z$ i justifiqueu si es tracta d'una funció uniforme o multiforme.

Uniforme

Multiforme

Exercici 3 (2 punts). Domini i recorregut d'una funció de dues variables

Donada la funció escalar de dues variables:

$$z = f(x, y) = \ln(x^2 + y^2 - 9)$$

Determineu el seu domini de definició, feu-ne la representació gràfica i descriviu raonadament les seves propietats topològiques. Calculeu també de forma justificada el seu recorregut (imatge).

Exercici 4 (2 punts). Corbes de nivell

Trobeu les corbes de nivell associades a cadascuna de les funcions següents a l'alçada indicada. Especifiqueu la naturalesa de la corba geomètrica obtinguda i descriviu com es representa en el pla:

a.

$z = 4x^2 + y^2$ per a l'alçada $z = 8$.

$($

$,$

$)$

$a =$

$b =$

b.

$z = x^2 - 4x + y^2 - 8y + 3$ per a l'alçada $z = -8$.

$($

$,$

$)$

$R =$

Exercici 5 (2 punts). Càlcul de derivades parcials

Calculeu les derivades parcials de primer ordre de la funció següent:

$$z = x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4$$

i determineu el seu valor numèric en el punt $P(3, 2)$.

1.

2.