Exercício 2 · Exame Nacional Matemática Aplicada às Ciências Sociais 1.ª fase 2026

2. Duas agências de venda de bilhetes, a Blackticket (BT) e a Whiteticket (WT), foram encarregadas da venda da totalidade de bilhetes para os sectores S1, S2, S3 e S4 de um estádio onde irá ocorrer um jogo de um campeonato mundial de futebol.

As duas agências negociaram entre si os sectores cujos bilhetes cada uma poderá vender, utilizando o método que a seguir se descreve.

Cada agência atribui pontos a cada um dos quatro sectores, secretamente, de acordo com as suas preferências e de modo que o total dos seus pontos seja 100.

Cada sector é destinado, temporariamente, à agência que mais o valoriza.

Com esta distribuição, determina-se o total de pontos dos sectores temporariamente destinados a cada agência. Se as duas agências tiverem o mesmo número de pontos, a distribuição temporária torna-se definitiva. Caso contrário, procede-se ao ajuste da partilha, de modo que as agências obtenham o mesmo número total de pontos, através da partilha de um dos sectores.

Seja A a agência com o total de pontos mais elevado e B a outra agência. A agência A transfere uma parte de um sector para a agência B, até ficarem ambas com o mesmo número de pontos. Para decidir qual o sector a partilhar pelas duas agências, calculam-se os quocientes referentes aos sectores atribuídos à agência A:$$\frac{\text{Número de pontos atribuídos ao sector pela agência A}}{\text{Número de pontos atribuídos ao sector pela agência B}}$$O sector usado para fazer o ajuste, e que será partilhado pelas agências, será aquele a que corresponde o menor quociente.

Representa-se o total final de pontos a atribuir à agência A pela diferença entre o total temporário dos seus pontos e $x$ por cento do valor por ela atribuído ao sector a partilhar.

Representa-se o total final de pontos a atribuir à agência B pela soma do total temporário dos seus pontos com $x$ por cento do valor por ela atribuído ao sector a partilhar.

Igualam-se os dois totais finais de modo a determinar o valor de $x$, que estabelece o equilíbrio da partilha.

A agência B fica responsável pela venda dos bilhetes do(s) sector(es) a si destinado(s) temporariamente e de $x$ por cento dos bilhetes do sector a partilhar, e a agência A fica com o restante.

Na Tabela 2, estão registados os pontos atribuídos por cada uma das agências aos sectores do estádio de futebol.

Admita que cada um dos sectores do estádio de futebol, S1, S2, S3 e S4, tem 21 000 lugares.

Determine quantos bilhetes para esse jogo do campeonato mundial de futebol estarão à venda na agência Blackticket, por aplicação do método descrito.

Na sua resposta: apresente a partilha temporária dos sectores pelas agências;

determine o total de pontos atribuídos aos sectores temporariamente destinados a cada agência;

indique, justificando, o sector a partilhar pelas duas agências;

apresente a equação que traduz o equilíbrio da partilha e resolva-a.

1.

Sectores temporários BT:

Total de pontos BT:

Sectores temporários WT:

Total de pontos WT:

2.

3.

%

4.