Exercice 3 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2025 (jour 2)

Exercice 3 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

PARTIE A

$ABCDEFGH$ est un cube d'arête de longueur 1. Les points $I$, $J$, $K$, $L$ et $M$ sont les milieux respectifs des arêtes $[AB]$, $[BF]$, $[AE]$, $[CD]$ et $[DH]$.

Affirmation 1: « $\vec{JH} = 2\vec{BI} + \vec{DM} - \vec{CB}$ »

Affirmation 2: « Le triplet de vecteurs $(\vec{AB}, \vec{AH}, \vec{AG})$ est une base de l'espace. »

Affirmation 3: « $\vec{IB} \cdot \vec{LM} = -\frac{1}{4}$ »

PARTIE B

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère:

le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne $2x - y + 3z + 6 = 0$

les points $A(2\,;\,0\,;\,-1)$ et $B(5\,;\,-3\,;\,7)$

Affirmation 4: « Le plan $\mathscr{P}$ et la droite $(AB)$ sont parallèles. »

Affirmation 5: « Le plan $\mathscr{P}'$ parallèle à $\mathscr{P}$ passant par $B$ a pour équation cartésienne $-2x + y - 3z + 34 = 0$ »

Affirmation 6: « La distance du point $A$ au plan $\mathscr{P}$ est égale à $\frac{\sqrt{14}}{2}$ »

On note $(d)$ la droite de représentation paramétrique

$$\begin{cases} x = -12 + 2k \\ y = 6 \\ z = 3 - 5k \end{cases} \quad, \text{où } k \in \mathbb{R}$$

Affirmation 7: « Les droites $(AB)$ et $(d)$ ne sont pas coplanaires. »