Exercice 4 - Partie A : Dérivation et convexité · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2025 (jour 2)

1. a. Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0\,;\,\pi]$, $f'(x) = \mathrm{e}^x(\sin(x) + \cos(x))$.

Réponse : $f'(x) = \mathrm{e}^x(\sin(x) + \cos(x))$

1. b. Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$.

Réponse : $f'(x) > 0$ sur $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$

2. a. Déterminer une équation de la tangente $\mathrm{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.

Réponse : $y = x$

2. b. Démontrer que la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$.

Réponse : $f''(x) = 2\mathrm{e}^x\cos(x) \ge 0$ sur $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$

2. c. En déduire que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$, $\mathrm{e}^x\sin(x) \ge x$.

Réponse : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de sa tangente en 0, donc $f(x) \ge x$

3. Justifier que le point d'abscisse $\frac{\pi}{2}$ de la courbe représentative de la fonction $f$ est un point d'inflexion.

Réponse : $f''$ s'annule et change de signe en $\frac{\pi}{2}$