Exercice 1 - Partie B : Inégalité de Bienaymé-Tch… · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2025 (jour 2)

Exercice 1 [5 points]

Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points.

Les PARTIES A et B sont indépendantes.

PARTIE B

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d'un match.

On admet que l'espérance $E(X) = 22$ et la variance $V(X) = 65$.

Victor joue $n$ matchs, où $n$ est un nombre entier strictement positif. On note $X_1, X_2, \dots, X_n$ les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des $1^{\text{er}}, 2^{\text{e}}, \dots, n$-ième matchs. On admet que les variables aléatoires $X_1, X_2, \dots, X_n$ sont indépendantes et suivent la même loi que celle de $X$.

On pose $$M_n = \frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n}$$

1.

Dans cette question, on prend $n = 50$.

a.

Que représente la variable aléatoire $M_{50}$ ?

b.

Déterminer l'espérance et la variance de $M_{50}$.

c.

Démontrer que $P(|M_{50} - 22| \ge 3) \le \dfrac{13}{90}$.

d.

En déduire que la probabilité de l'événement « $19 < M_{50} < 25$ » est strictement supérieure à 0,85.

2.

Indiquer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse:

« Il n'existe aucun entier naturel $n$ tel que $P(|M_n - 22| \ge 3) < 0{,}01$ ».

Vraie

Fausse