Sujet du Bac Mathématiques 2024 · Amérique du Nord Jour 2

Les données publiées le 1 er mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes:

22,86 % des véhicules étaient des véhicules neufs;

8,08 % des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables;

1,27 % des véhicules d'occasion (c'est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.

Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.

Partie A

Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022.

On note:

$N$ l'événement « le véhicule est neuf »;

$R$ l'événement « le véhicule est hybride rechargeable »;

$\overline{N}$ et $\overline{R}$ les événements contraires des événements contraires de $N$ et $R$.

1.

Représenter la situation par un arbre pondéré.

2.

Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.

3.

Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est 0,0283.

4.

Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable.

Les données publiées le 1 er mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes:

22,86 % des véhicules étaient des véhicules neufs;

8,08 % des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables;

1,27 % des véhicules d'occasion (c'est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.

Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.

Partie B

Dans cette partie, on choisit 500 véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022. Dans la suite, on admettra que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à 0,65.

On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les 500 véhicules choisis.

1.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.

$n =$

$p =$

2.

Déterminer la probabilité qu'exactement 325 de ces véhicules soient neufs.

3.

Déterminer la probabilité $P(X \ge 325)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie C

On choisit désormais $n$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.

On rappelle que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à 0,65. On assimile le choix de ces $n$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

1.

Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_n$ que tous ces véhicules soient d'occasion.

2.

On note $q_n$ la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_n \ge 0{,}9999$.

Exercice 2 (5 points)

On considère le pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB = 3$ et $AD = AE = 1$ représenté ci-dessous.

On considère le point $I$ du segment $[AB]$ tel que $\vec{AB} = 3\vec{AI}$ et on appelle $M$ le milieu du segment $[CD]$.

On se place dans le repère orthonormé $(A; \vec{AI}, \vec{AD}, \vec{AE})$.

1.

Sans justifier, donner les coordonnées des points $F$, $H$ et $M$.

2. a)

Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(HMF)$.

2. b)

En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(HMF)$ est:

$$2x + 6y + 3z - 9 = 0$$

2. c)

Le plan $\mathcal{P}$ dont une équation cartésienne est $5x + 15y - 3z + 7 = 0$ est-il parallèle au plan $(HMF)$ ? Justifier la réponse.

3.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(DG)$.

4.

On appelle $N$ le point d'intersection de la droite $(DG)$ avec le plan $(HMF)$. Déterminer les coordonnées du point $N$.

5.

Le point $R$ de coordonnées $\left(3; \frac{1}{4}; \frac{1}{2}\right)$ est-il le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(HMF)$ ? Justifier la réponse.

Exercice 3 (6 points)

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0; 1]$ par $g(x) = 2x - x^2$.

1.

Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0; 1]$ et préciser les valeurs de $g(0)$ et de $g(1)$.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $\begin{cases} u_0 = \frac{1}{2} \\ u_{n+1} = g(u_n) \end{cases}$ pour tout entier naturel $n$.

2.

Calculer $u_1$ et $u_2$.

3.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a: $0 < u_n < u_{n+1} < 1$.

4.

En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

5.

Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$.

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \ln(1 - u_n)$.

6.

Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 2 et préciser son premier terme.

7.

En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$.

8.

En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$ et retrouver la limite déterminée à la question 5.

9.

Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang $n$ à partir duquel la suite dépasse $0{,}95$.

def seuil():

n=0

u=0.5

while u<0.95:

n=...

u=...

return n

Soit $a$ un réel strictement positif.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = a\ln(x)$.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Soit $x_0$ un réel strictement supérieur à $1$.

1.

Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses.

2.

Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x) = a(x\ln(x) - x)$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.

3.

En déduire l'aire du domaine grisé en fonction de $a$ et de $x_0$.

Soit $a$ un réel strictement positif.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = a\ln(x)$.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Soit $x_0$ un réel strictement supérieur à $1$.

On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M$ d'abscisse $x_0$.

On appelle $A$ le point d'intersection de la tangente $T$ avec l'axe des ordonnées et $B$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe des ordonnées.

4.

Démontrer que la longueur $AB$ est égale à une constante (c'est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $x_0$) que l'on déterminera. Le candidat prendra soin d'expliciter sa démarche.