Exercice 2 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2025 (jour 2)

Thème : Suites : récurrence, convergence et limites · Tiré du sujet Jour 2 (2025)

Énoncé

Exercice 2 (5 points)

Un des objectifs de cet exercice est de déterminer une approximation du nombre réel $\ln(2)$ , en utilisant une des méthodes du mathématicien anglais Henry Briggs au 16 e siècle.

On désigne par $(u_n)$ la suite définie par:

$u_0 = 2 \quad \text{et pour tout entier naturel } n, \quad u_{n+1} = \sqrt{u_n}$

PARTIE A

1. a.

Donner la valeur exacte de $u_1$ et de $u_2$ .

1. b.

Émettre une conjecture, à l'aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite.

2. a.

Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $1 \le u_{n+1} \le u_n$ .

2. b.

En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

2. c.

Résoudre dans l'intervalle $[0; +\infty[$ l'équation $\sqrt{x} = x$ .

2. d.

Déterminer, en justifiant, la limite de la suite $(u_n)$ .

PARTIE B

On désigne par $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = \ln(u_n)$ .

1. a.

Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$ .

1. b.

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ , pour tout entier naturel $n$ .

1. c.

En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , $\ln(2) = 2^n \ln(u_n)$ .

On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé la courbe $\mathscr{C}$ de la fonction $\ln$ et la tangente $\mathrm{T}$ à la courbe $\mathscr{C}$ au point d'abscisse 1.

Une équation de la droite $\mathrm{T}$ est $y = x - 1$ .

Les points $A_0, A_1, A_2$ ont pour abscisses respectives $u_0, u_1$ et $u_2$ et pour ordonnée 0.

On décide de prendre $x - 1$ comme approximation de $\ln(x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle $]0,99; 1,01[$ .

Déterminer à l'aide de la calculatrice le plus petit entier naturel $k$ tel que $u_k$ appartienne à l'intervalle $]0,99; 1,01[$ et donner une valeur approchée de $u_k$ à $10^{-5}$ près.

En déduire une approximation de $\ln(u_k)$ .

Déduire des questions 1.c. et 2.b. de la partie B une approximation de $\ln(2)$ .

On généralise la méthode précédente à tout réel $a$ strictement supérieur à 1.

Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin que l'appel Briggs(a) renvoie une approximation de $\ln(a)$ .

On rappelle que l'instruction en langage Python sqrt(a) correspond à $\sqrt{a}$ .

from math import*

def Briggs(a):

n = 0

while a >= 1.01:

a = sqrt(a)

n = n+1

L =............

return L

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. a. Donner la valeur exacte de u_1

Réponse : $\sqrt{2}$

1. a. Donner la valeur exacte de u_2

Réponse : $\sqrt{\sqrt{2}} = 2^{1/4}$

1. b. Émettre une conjecture, à l'aide de la calculatrice, sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite

Réponse : La suite semble décroissante et semble converger vers 1.

2. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 1 <= u_{n+1} <= u_n

Réponse : Initialisation : $u_0 = 2 \ge 1$ , $u_1 = \sqrt{2} \in [1; 2] \Rightarrow 1 \le u_1 \le u_0$ . Hérédité : Si $1 \le u_n \le u_{n-1}$ , alors comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0; +\infty[$ , $\sqrt{1} \le \sqrt{u_n} \le \sqrt{u_{n-1}}$ , soit $1 \le u_{n+1} \le u_n$ . Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

2. b. En déduire que la suite (u_n) est convergente

Réponse : La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 1, donc elle converge.

2. c. Résoudre dans l'intervalle [0; +infini[ l'équation sqrt(x) = x

Réponse : 0 et 1

2. d. Déterminer la valeur de la limite de la suite (u_n)

Réponse : 1

2. d. Justifier la limite de la suite (u_n)

Réponse : Comme $(u_n)$ converge vers $\ell$ et que la fonction racine carrée est continue, $\ell$ est solution de $\sqrt{x} = x$ . Comme pour tout $n$ , $u_n \ge 1$ , on a $\ell \ge 1$ , ce qui exclut 0. Donc $\ell = 1$ .

Partie B - 1. a. Démontrer que la suite (v_n) est géométrique de raison 1/2

Réponse : $v_{n+1} = \ln(u_{n+1}) = \ln(\sqrt{u_n}) = \frac{1}{2}\ln(u_n) = \frac{1}{2}v_n$ .

Partie B - 1. b. Exprimer v_n en fonction de n, pour tout entier naturel n

Réponse : $\ln(2) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$

Partie B - 1. c. En déduire que, pour tout entier naturel n, ln(2) = 2^n ln(u_n)

Réponse : $v_n = \ln(u_n)$ , donc $\ln(u_n) = \ln(2) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n$ , d'où en multipliant par $2^n$ : $\ln(2) = 2^n \ln(u_n)$ .

Partie B - 2. a. Déterminer le plus petit entier naturel k tel que u_k appartienne à ]0,99 ; 1,01[

Réponse : 7

Partie B - 2. a. Donner une valeur approchée de u_k à 10^-5 près

Réponse : 1,00543

Partie B - 2. b. En déduire une approximation de ln(u_k)

Réponse : 0,00543

Partie B - 2. c. Déduire une approximation de ln(2)

Réponse : 0,69504

Partie B - 3. Recopier et compléter l'algorithme : L =

Réponse : ```python 2**n * (a - 1) ```

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