Exercice 4 - Partie B : Calcul intégral · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2025 (jour 2)

On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0\,;\,\pi]$ par $f(x) = \mathrm{e}^x \sin(x)$.

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère.

PARTIE B

On note $I = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^x\sin(x)\,\mathrm{d}x$ et $J = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^x\cos(x)\,\mathrm{d}x$.

1.

En intégrant par parties l'intégrale $I$ de deux manières différentes, établir les deux relations suivantes: $I = 1 + J$ et $I = \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}} - J$.

2.

En déduire que $I = \dfrac{1 + \mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}}{2}$.

3.

On note $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x$. Les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$ sont tracées dans le repère orthogonal ci-dessous sur l'intervalle $[0\,;\,\pi]$.

Calculer la valeur exacte de l'aire du domaine hachuré situé entre les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \frac{\pi}{2}$.